从前三个确定第四组 UV 坐标

Question

假设我有一个四边形，我正在向它应用池 table 纹理。我知道前三个顶点（以蓝色突出显示）的 UV 坐标，但不知道第四个。

比如上图，我知道左上坐标是[0, 0]，右上坐标是[1, 0]，左下坐标是[0, 1]。如何从数学上确定右下角的 UV 坐标为 [1, 1]？我想弄清楚第四组 UV 坐标在数学上是什么，这样我知道 UV 坐标的三角形中显示的纹理将适合四边形。

我需要能够处理复杂的情况。 UV 坐标和 X、Y 和 Z 坐标可以是任何东西，但我知道它永远是平面。

最后，我需要能够计算具有任意数量顶点的面。

我最初的方法是检查 U 坐标在一定的 X 距离内变化了多少，然后检查 Y 和 Z 的变化，直到我找到关系，但我不断发现该逻辑的新例外，我'我想知道是否有更简单的方法。

如何插入 UV 来计算第四、第五...第 n 个点？没有特定的编码语言 - 我只是在寻找方法。

Answer 1

计算缺少 U/V 属性的顶点的 barycentric coordinates，并使用这些坐标推断缺少的属性（U/V 或任何其他实际属性）。

这是一个完整的推导和解决方案，用于位置 P 和 U/V 坐标 T:

的附加面顶点

P1 = (x1, y1, z1), T1 = (u1, v1)
P2 = (x2, y2, z2), T2 = (u2, v2)
P3 = (x3, y3, z3), T3 = (u3, v3)
P  = (x , y , z ), T  = (u , v ) = ?

支持三角形（P1、P2、P3）（因此整个面）的平面上的点 P 具有重心坐标 l1, l2, l3:

P = l1 P1 + l2 P2 + l3 P3

with l1 + l2 + l3 = 1

这可以重写为：

P - P1 = ( l1 - 1 ) P1 + l2 P2 + l3 P3
       = -( l2 + l3 ) P1 + l2 P2 + l3 P3
       = l2 ( P2 - P1 ) + l3 ( P3 - P1 )

with l1 = 1 - l2 - l3

将向量 V = P - P1 投影到向量 V21 = P2 - P1 和 V31 = P3 - P1 上得到：

< V, V21 > = l2 < V21, V21 > + l3 < V31, V21 >
< V, V31 > = l2 < V21, V31 > + l3 < V31, V31 >

其中 < V1, V2 > 是 3D 向量 V1 和 V2 的点积。

所以(l1,l2,l3)可以通过求解线性方程组得到P:

G L = ( < V21, V21 > < V31, V21 > ) ( l2 ) = ( < V, V21 > ) = D
      ( < V21, V31 > < V31, V31 > ) ( l3 )   ( < V, V31 > )

L = ( l2 ) = G^-1 D
    ( l3 )

and l1 = 1 - l2 - l3

这可以明确解决：

d = < V21, V21 > < V31, V31 > - < V21, V31 >^2

l1 = 1 - l2 - l3
l2 = ( < V31, V31 > < V, V21 > - < V21, V31 > < V, V31 > ) / d
l3 = ( < V21, V21 > < V, V31 > - < V21, V31 > < V, V21 > ) / d

请注意，由于附加顶点的位置 P 在三角形（P1、P2、P3）之外，因此不等式 l1, l2, l3 >= 0不一定会再持有。

最后计算附加顶点的外推 U/V 坐标 T：

T = l1 T1 + l2 T2 + l3 T3

从前三个确定第四组 UV 坐标

Determine fourth set of UV coordinates from the first three

math

3d

geometry

texture-mapping

uv-mapping