在 C 中实现 Miller-Rabin

Question

我正在尝试在 C99 中实现 Miller-Rabin primality test，但在使其工作时遇到了一些问题。我制作了一个小型测试集来验证实现是否有效，下面是我检查素数的方式

int main() {
    int foo[11] = {0, 1, 2, 3, 4, 7, 28, 73, 125, 991, 1000};
    for (int i = 0; i < 11; i++) {
        printf("%s; ", isprime(foo[i], 5000) ? "Yes" : "No");
    }
    return 0;
}

根据列出的数字，预期输出为

No; No; Yes; Yes; No; Yes; No; Yes; No; Yes; No;

然而，作为实施，我得到的输出如下：

No; No; Yes; Yes; No; Yes; No; No; No; No; No;

下面是我写的算法

int randint (int low, int up){
    return rand() % (++up - low)+low;
}

int modpow(int a, int b, int m) {
    int c = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            c *= a;
        }
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return c % m;
}

bool witness(int a, int s, int d, int n) {
    int x = modpow(a,d,n);
    if(x == 1) return true;
    for(int i = 0; i< s-1; i++){
        if(x == n-1) return true;
        x = modpow(x,2,n);
    }
    return (x == n- 1);
}

bool isprime(int x, int j) {
    if (x == 2) {
        return true;
    }
    if (!(x & 1) || x <= 1) {
        return false;
    }
    int a = 0;
    int s = 0;
    int d = x - 1;

    while (!d&1){
        d >>=1;
        s+=1;
    }
    for(int i = 0; i < j; i++){
        a = randint(2, x-1);
        if(!witness(a,s,d,x)){
            return false;
        }
    }

    return true;
}

我做错了什么？为什么测试对 "large" 个素数失败，但对非常小的素数有效？我该如何解决这个问题？

Answer 1

使用 Visual Studio 2015 Community Edition 我发现了两个问题。第一行：

while (!d&1){

需要：

while (!(d&1)){

其次，如评论中所述，您的 modpow 函数溢出。尝试：

int modpow(int a, int d, int m) {
    int c = a;
    for (int i = 1; i < d; i++)
        c = (c*a) % m;
    return c % m;
}

Answer 2

您的 modpow() 功能有问题。您可能希望对参数和结果使用无符号类型（无论如何，负数 m 是什么意思？）其次，它会溢出，因为它会尝试计算 a^b ，然后再对它取模-m.您需要减少 a 和 c。

处理这个问题的最好方法是编写一些测试：

unsigned modpow(unsigned a, unsigned b, unsigned m) {
    unsigned c = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            c *= a;
        }
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return c % m;
}

#include <stdio.h>
unsigned test(unsigned a, unsigned b, unsigned m, unsigned expected)
{
    unsigned actual = modpow(a, b, m);
    if (actual == expected)
        return 0;
    printf("modpow(%u, %u, %u) returned %u; expected %u\n",
           a, b, m, actual, expected);
    return 1;
}


int main()
{
    return test(0, 0, 2, 1)
        +  test(1005, 16, 100, 25)
        ;
}

第一个测试通过（但提出了一个问题——m < 2时你想要什么结果？）；第二个失败：

modpow(1005, 16, 100) returned 49; expected 25

让我们修改 modpow() 以减少每一步的结果：

unsigned modpow(unsigned a, unsigned b, unsigned m) {
    unsigned c = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            c *= a;
            c %= m;
        }
        b >>= 1;
        a *= a;
        a %= m;
    }
    return c;
}

现在通过了！我们可以再做一个失败的测试：

int main()
{
    return test(0, 0, 2, 1)
        +  test(1005, 16, 100, 25)
        +  test(100000005, 16, 1000000000, 587890625)
        ;
}

modpow(100000005, 16, 1000000000) returned 919214529; expected 587890625

现在我们需要使用更大的类型来计算乘法：

unsigned modpow(unsigned a, unsigned b, unsigned m) {
    unsigned long long c = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            c = (unsigned long long)c * a % m;
        }
        b >>= 1;
        a = (unsigned long long)a * a % m;
    }
    return c;
}

一旦我们对 modpow() 函数有足够的信心，我们就可以调试算法的其余部分了。

请注意，如果您的整数大小与我的不同，您需要在测试中使用不同的值来复制结果。我选择了以 005 结尾的大数字，因为我们知道最后两位数字是不变的 25，无论其幂如何。您可能会发现 dc -e '???|p' 有助于生成测试用例（在其标准输入中提供三个参数，它将打印预期值）。

在 C 中实现 Miller-Rabin

Implementing Miller-Rabin in C

c

algorithm

primes

primality-test