求具有 python 的超越方程的根

Question

我要解下面的超越方程

cos(x)/x=c

对于给定常数 c.

例如我在 Mathematica 中做了一个简短的代码，在那里我为常量 c

生成了一个随机值列表

const = Table[RandomReal[{0, 5}], {i, 1, 10}]

(*{1.67826, 0.616656, 0.290878, 1.10592, 0.0645222, 0.333932, 3.59584, \
2.70337, 3.91535, 2.78268}*)

比我定义的函数

f[x_, i_] := Cos[x]/x - const[[i]]

并开始寻找根源：

Table[FindRoot[f[x, i] == 0, {x, 0.1}][[1, 2]], {i, 1, Length[const]}]
(*{0.517757, 0.947103, 1.21086, 0.694679, 1.47545, 1.16956, 0.26816, \
0.347764, 0.247615, 0.338922}*)

现在我很想在 python 中编写类似的程序（可能使用 numpy？），但我真的找不到任何现有的解决此类问题的好方法。有人可以帮忙吗？

Answer 1

你可以用 sympy:

>>> from sympy import cos, Symbol, nsolve
>>> x = Symbol('x')
>>> consts = [random.random() for _ in range(10)]
>>> [nsolve(cos(x)/x - c, x, 1) for c in consts]
[mpf('0.89659506789294669'),
 mpf('0.96201114853313738'),
 mpf('0.74186728791161379'),
 mpf('1.1720944924353926'),
 mpf('0.92953351945607071'),
 mpf('0.96626530553984035'),
 mpf('1.4270719610604761'),
 mpf('0.85968954499458035'),
 mpf('0.86682911058530746'),
 mpf('0.91591678333479274')]

Answer 2

我过去实现此目的的一种方法是使用 scipy.optimize.minimize 求平方函数的最小值。

from scipy.optimize import minimize
from numpy import cos

def opt_fun(x, c):
    return (cos(x)/x - c)**2

const = 1.2
res = minimize(lambda x: opt_fun(x, const), x0=0.001)

# Check if the optimization was successful
print(res.success)
# >> True

# Extract the root from the minimization result
print(res.x[0])
# >> 0.65889256782472172

这绝不是万无一失的，但可以快速准确。例如，如果有多个根，minimize 将从您 select 的初始点找到 'downhill direction' 中的那个，这就是为什么我在上面选择了一个小的正值。

另一个需要注意的问题是数量级截然不同的数字，这对于最小化问题总是如此。在您的等式中，随着 c 变得非常大，第一个正根变得非常小。如果您最终试图在这种情况下找到根，您可能需要将两个 x 缩放到接近 1 以获得准确的结果 ()。

Answer 3

对于这种简单的单变量函数，您可以使用 Chebfun 的 python 实现轻松找到感兴趣区间内的所有根。我知道有两个 Chebpy and pychebfun，它们都非常好。

例如，使用 Chebpy，可以执行以下操作以在区间 [0.5, 12]:

中找到 cos(x)/x - 0.05 的根

from chebpy import chebfun

x = chebfun('x', [0.5, 12])
c = 0.05
f = np.cos(x)/x - c

rts = f.roots()
print(rts)

[ 1.4959 4.9632 7.4711 11.6152]

Answer 4

或者，您可以使用 root:

import numpy as np
from scipy.optimize import root

def func_cos(x, c):
    return np.cos(x) / x - c

crange = range(1, 11)

res = [root(func_cos, 0.5, args=(ci, )).x[0] for ci in crange]

然后res看起来如下：

[0.73908513321516056,
 0.45018361129487355,
 0.31675082877122118,
 0.24267468064089021,
 0.19616428118784215,
 0.16441893826043114,
 0.14143076140757282,
 0.12403961812459068,
 0.11043425911223313,
 0.099505342687387879]

如果您对使用 root 求解方程组感兴趣，您可以查看。

求具有 python 的超越方程的根

Find root of a transcendental equation with python

python

numpy

numeric

transcendental-equation