MATLAB 中的幂法

Question

我想在 MATLAB 中实现 Power Method 以确定矩阵的主特征值和特征向量。

这是我到目前为止写的：

%function to implement power method to compute dominant
%eigenvalue/eigenevctor
function [m,y_final]=power_method(A,x);
m=0;
n=length(x);
y_final=zeros(n,1);
y_final=x;
tol=1e-3;
while(1)
    mold=m;
 y_final=A*y_final;
 m=max(y_final);
 y_final=y_final/m;
 if (m-mold)<tol
     break;
 end
end
end

使用上面的代码，这里是一个数值示例：

 A=[1 1 -2;-1 2 1; 0 1 -1]

A =

     1     1    -2
    -1     2     1
     0     1    -1

>> x=[1 1 1];
>> x=x';
>> [m,y_final]=power_method(A,x);
>> A*x

ans =

     0
     2
     0

在MATLAB中比较上述矩阵的特征值和特征向量时，我做了：

[V,D]=eig(A)

V =

    0.3015   -0.8018    0.7071
    0.9045   -0.5345    0.0000
    0.3015   -0.2673    0.7071


D =

    2.0000         0         0
         0    1.0000         0
         0         0   -1.0000

特征值重合，但特征向量应该趋近[1/3 1 1/3]。在这里，我得到：

 y_final

y_final =

    0.5000
    1.0000
    0.5000

看到这种不准确是否可以接受，还是我犯了一些错误？

Answer 1

你有正确的实现，但你没有检查特征向量和特征值是否收敛。您只是检查收敛的特征值。幂法估计突出的特征向量和特征值，因此检查 both 是否收敛可能是个好主意。当我这样做时，我设法得到 [1/3 1 1/3]。以下是我如何修改您的代码以促进此操作：

function [m,y_final]=power_method(A,x)
m=0;
n=length(x);
y_final=x;
tol=1e-10; %// Change - make tolerance more small to ensure convergence
while(1)
     mold = m;
     y_old=y_final; %// Change - Save old eigenvector
     y_final=A*y_final;
     m=max(y_final);
     y_final=y_final/m;
     if abs(m-mold) < tol && norm(y_final-y_old,2) < tol %// Change - Check for both
         break;
     end
end
end

当我运行上述代码与您的示例输入时，我得到：

>> [m,y_final]=power_method(A,x)

m =

     2


y_final =

    0.3333
    1.0000
    0.3333

关于 eig 的旁注，MATLAB 很可能使用另一个范数缩放该特征向量。请记住，特征向量 不是唯一的 并且精确到比例。如果你想确定，只需取V的第一列，与主导特征向量重合，除以最大值，这样我们就可以得到一个要归一化为1的分量，就像幂法：

>> [V,D] = eig(A);
>> V(:,1) / max(abs(V(:,1)))

ans =

    0.3333
    1.0000
    0.3333

这与您观察到的一致。

MATLAB 中的幂法

Power Method in MATLAB

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