钟摆涉及 scipy 颂歌

Question

我正在使用 scipy ode 来解决钟摆问题。

from scipy import *
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import ode

def pendulumdot(t, y,  gamma, omega0, Fd):
    theta, v = y[0], y[1]
    return array([v, -2*gamma*v-omega0**2*sin(theta)+Fd*cos(2*pi*t)])



def pendulum_sample(theta0, thetadot0, gamma, omega0, Fd, t):
    Theta0 = array([theta0, thetadot0]) 
    r = ode(pendulumdot)
    r.set_integrator('dopri5')
    r.set_initial_value(Theta0)
    r.set_f_params( gamma, omega0, Fd)
    #r.set_jac_params()
    theta = zeros(len(t))
    thetadot = zeros(len(t))
    theta[0] = theta0
    thetadot[0] = thetadot0
    for n in range(1, len(t)):
        r.integrate(t[n])
        assert r.successful()
        theta[n] = (r.y)[0]
        thetadot[n] = (r.y)[1]
    return theta, thetadot
def pendulum_demo():
    gamma = 0.1
    omega0 = 10.0
    theta0 = 0.0
    thetadot0 = 0.0
    Fd = 50.0
    t1 = linspace(0, 200, 10000)
    theta1, thetadot1 = pendulum_sample(theta0, thetadot0, gamma, omega0, Fd, t1)
    plt.plot(t1, theta1)
    t2 = linspace(0, 150, 10000)
    theta2, thetadot2 = pendulum_sample(theta0, thetadot0, gamma, omega0, Fd, t2)
    plt.plot(t2, theta2)
    plt.show()
pendulum_demo()

我为不同的时间范围绘制了两个 theta 与时间的关系图，一个是 (0, 150)，一个是 (0, 200)。我期望这两个数字在时间范围 (0, 150) 内应该相同，但是，这不是我观察到的。我的脚本有什么问题吗？谢谢。

Answer 1

您可能应该像

那样使用完整的初始化

r.set_integrator('dopri5', atol=1, rtol = 1e-8)
r.set_initial_value(Theta0, t=t[0])

这使您可以控制绝对和相对误差阈值并明确设置初始时间。

您的系统的 Lipschitz 常数 L 约为或更大 omega0**2=100。错误传播受因素 exp(L*(t_final-t)) 支配。

例如，从时间50到时间150，这个系数是exp(100*100)，大约是10^4343。对于所有实际目的，这意味着最终值对初始值没有明显的依赖性，即系统是混沌的。

实际的一面看起来比这个悲观的估计要好一些，因为两条曲线大约重合 t=10。这意味着，假设容错度为 1e-8，即 exp(L*10)<=1e+8 或 L=1.84...。这为大小为 100 的区间提供了 exp(L*100)=1e+80 的误差放大因子，该因子仍然大到足以将结果称为混沌。

误差阈值实验表明，大约 t=8.4 处的初始分歧点对相对误差不敏感。此外，差异产生（在我的实验中，不是你的图片）在 dt=1 中从 1 到 24 的差异增长，这给出了大约 L=3，这仍然与最后的估计一致并且远小于理论L=100.

为了更好地理解发生了什么，您还应该研究导数图，

plt.plot(t1,thetadot1,t2,thetadot2)
plt.show()

这惊人地证明了混乱行为的起源。

钟摆涉及 scipy 颂歌

pendulum involving scipy ode

python

scipy

ode