有多少组 4 个数的异或等于 0？

Question

我有两个非负整数 x 和 y，它们都最多有 30 位（因此它们的值大约为 10^9）。

我想计算有多少组 4 个数字 {a_1、a_2、a_3、a_4} 使得 a_1 + a_2 = x 和 a_3 + a_4 = y 并且所有这 4 个数字的 xor 等于 0。

解决这个问题最快的算法是什么？

我能想到的最快的方法是将 xor 方程重新排列为 a_1 xor a_2 = a_3 xor a_4。

然后我可以在O(x) 中计算左侧的所有值，在O(y) 中计算右侧的值，因此整个算法在O(x + y) 中运行。

Answer 1

设N(x, y)为本题的解数。显然 N(0, 0) 是 1，因为唯一的解决方案是 (0, 0, 0, 0)。如果 x 或 y 为负，则无解，因为我们要求 a1、a2、a3、a4 均为非负。

否则，我们可以从求解最低位开始，生成递归关系。让我们写 n:0 和 n:1 来表示 2n+0 和 2n+1（所以 0 和 1 是最低位）。

然后：

N(0, 0) = 1
N(-x, y) = N(x, -y) = 0
N(x:0, y:0) = N(x, y) + N(x-1, y) + N(x, y-1) + N(x-1, y-1)
N(x:0, y:1) = N(x:1, y:0) = 0
N(x:1, y:1) = 4 * N(x, y)

要看到这些，必须考虑任何 a1、a2、a3、a4 可能的低位。

首先N(x:0, y:0)。我们需要 a1+a2 的低位为 0，这意味着 a1 和 a2 要么都是偶数，要么都是奇数。如果它们都是奇数，则有一个进位，并且高位加 1 的总和必须等于 x 的高位。同样的逻辑适用于 a3、a4。有4种可能：a1、a2、a3、a4的低位全为0，a1、a2的低位为1，a3、a4的低位为1，a1、a2、a3、a4的低位为1。即4 例。

其次N(x:0, y:1)和N(x:1, y:0)。如果一个和是偶数，另一个是奇数，则没有解决方案：可以检查每个组合的 a1、a2、a3、a4 的最低位以找出答案。

第三N(x:1, y:1)。恰好 a1 和 a2 中的一个必须是奇数，并且类似地恰好 a3 和 a4 中的一个必须是奇数。这有 4 种可能性，并且在任何情况下都没有进位。

这是一个完整的解决方案：

def N(x, y):
    if x == y == 0: return 1
    if x < 0 or y < 0: return 0
    if x % 2 == y % 2 == 0:
        return N(x//2, y//2) + N(x//2-1, y//2) + N(x//2, y//2-1) + N(x//2-1, y//2-1)
    elif x % 2 == y % 2 == 1:
        return 4 * N(x//2, y//2)
    else:
        return 0

该算法进行多次递归调用，理论上是指数级的。但在实践中，许多分支很快终止，因此代码运行速度足够快，足以处理高达 2^30 的值。但是当然，你可以添加缓存或者使用动态规划table来保证O(log(x)+log(y)).

的运行时间

最后，为了提高正确性的可信度，这里有一些针对原始 O(xy) 解决方案的测试：

def N_slow(x, y):
    s = 0
    for a1 in xrange(x + 1):
        for a3 in xrange(y + 1):
            a2 = x - a1
            a4 = y - a3
            if a1 ^ a2 ^ a3 ^ a4:
                continue
            s += 1
    return s

for x in xrange(50):
    for y in xrange(50):
        n = N(x, y)
        ns = N_slow(x, y)
        if n != ns:
            print 'N(%d, %d) = %d, want %d' % (x, y, n, ns)

有多少组 4 个数的异或等于 0？

How many sets of 4 numbers are there such that their xor is equal to 0?

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