伊辛模型 [Python]

Question

我正在尝试模拟 Barabasi-Albert 网络中的 Ising 相变，并尝试复制一些可观测值的结果，例如在 Ising 网格模拟中观察到的磁化强度和能量。但是，我在解释我的结果时遇到了麻烦：不确定物理学是否错误或实施中是否存在错误。这是一个最小的工作示例：

import numpy as np 
import networkx as nx
import random
import math

## sim params

# coupling constant
J = 1.0 # ferromagnetic

# temperature range, in units of J/kT
t0 = 1.0
tn = 10.0
nt = 10.
T = np.linspace(t0, tn, nt)

# mc steps
steps = 1000

# generate BA network, 200 nodes with preferential attachment to 3rd node
G = nx.barabasi_albert_graph(200, 3)

# convert csr matrix to adjacency matrix, a_{ij}
adj_matrix = nx.adjacency_matrix(G)
top = adj_matrix.todense()
N = len(top)

# initialize spins in the network, ferromagnetic
def init(N):
    return np.ones(N)

# calculate net magnetization
def netmag(state):
    return np.sum(state)

# calculate net energy, E = \sum J *a_{ij} *s_i *s_j
def netenergy(N, state):
    en = 0.
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            en += (-J)* top[i,j]*state[i]*state[j] 
    return en

# random sampling, metropolis local update
def montecarlo(state, N, beta, top):

    # initialize difference in energy between E_{old} and E_{new}
    delE = []

    # pick a random source node
    rsnode = np.random.randint(0,N)

    # get the spin of this node
    s2 = state[rsnode]

    # calculate energy by summing up its interaction and append to delE
    for tnode in range(N):
        s1 = state[tnode]
        delE.append(J * top[tnode, rsnode] *state[tnode]* state[rsnode])

    # calculate probability of a flip
    prob = math.exp(-np.sum(delE)*beta)

    # if this probability is greater than rand[0,1] drawn from an uniform distribution, accept it
    # else retain current state
    if prob> random.random():
        s2 *= -1
    state[rsnode] = s2

    return state

def simulate(N, top):

    # initialize arrays for observables
    magnetization = []
    energy = []
    specificheat = []
    susceptibility = []

    for count, t in enumerate(T):


        # some temporary variables
        e0 = m0 = e1 = m1 = 0.

        print 't=', t

        # initialize spin vector
        state = init(N)

        for i in range(steps):

            montecarlo(state, N, 1/t, top)

            mag = netmag(state)
            ene = netenergy(N, state)

            e0 = e0 + ene
            m0 = m0 + mag
            e1 = e0 + ene * ene
            m1 = m0 + mag * mag

        # calculate thermodynamic variables and append to initialized arrays
        energy.append(e0/( steps * N))
        magnetization.append( m0 / ( steps * N)) 
        specificheat.append( e1/steps - e0*e0/(steps*steps) /(N* t * t))
        susceptibility.append( m1/steps - m0*m0/(steps*steps) /(N* t *t))

        print energy, magnetization, specificheat, susceptibility

        plt.figure(1)
        plt.plot(T, np.abs(magnetization), '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Average Magnetization per spin')

        plt.figure(2)
        plt.plot(T, energy, '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Average energy')

        plt.figure(3)
        plt.plot(T, specificheat, '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Specific Heat')

        plt.figure(4)
        plt.plot(T, susceptibility, '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Susceptibility')

simulate(N, top)

观测结果:

Magnetization trend as a function of temperature
Specific Heat

我已经尝试对代码进行大量注释，以防万一我忽略了什么，请询问。

问题:

磁化趋势是否正确？磁化随温度升高而降低，但无法确定相变的临界温度。
随着温度升高，能量接近于零，这似乎与在伊辛网格中观察到的一致。为什么我得到负比热值？
如何选择 monte carlo 步数？这只是基于网络节点数的命中和试用吗？

编辑：02.06：：反铁磁配置的模拟失效

Answer 1

首先，由于这是一个编程站点，我们来分析一下程序。您的计算效率非常低，这使得探索更大的图变得不切实际。您的情况下的邻接矩阵是 200x200 (40000) 个元素，只有大约 3% 的非零元素。将其转换为密集矩阵意味着在评估 montecarlo 例程中的能量差和 netenergy 中的净能量时需要更多的计算。以下代码在我的系统上的执行速度提高了 5 倍，并且预计更大的图形会带来更好的加速：

# keep the topology as a sparse matrix
top = nx.adjacency_matrix(G)

def netenergy(N, state):
    en = 0.
    for i in range(N):
        ss = np.sum(state[top[i].nonzero()[1]])
        en += state[i] * ss
    return -0.5 * J * en

注意因子中的 0.5 - 因为邻接矩阵是对称的，所以每对自旋被计算两次！

def montecarlo(state, N, beta, top):
    # pick a random source node
    rsnode = np.random.randint(0, N)
    # get the spin of this node
    s = state[rsnode]
    # sum of all neighbouring spins
    ss = np.sum(state[top[rsnode].nonzero()[1]])
    # transition energy
    delE = 2.0 * J * ss * s
    # calculate transition probability
    prob = math.exp(-delE * beta)
    # conditionally accept the transition
    if prob > random.random():
        s = -s
    state[rsnode] = s

    return state

注意跃迁能量中的因子 2.0 - 您的代码中缺少它！

这里有一些 numpy 索引魔法。 top[i] 是节点 i 的稀疏邻接行向量，top[i].nonzero()[1] 是非零元素的列索引（top[i].nonzero()[0] 是行索引，它们都等于 0，因为它是一个行向量）。 state[top[i].nonzero()[1]] 因此是节点 i.

的相邻节点的值

现在说物理。热力学性质是错误的，因为：

e1 = e0 + ene * ene
m1 = m0 + mag * mag

真的应该是：

e1 = e1 + ene * ene
m1 = m1 + mag * mag

并且：

specificheat.append( e1/steps - e0*e0/(steps*steps) /(N* t * t))
susceptibility.append( m1/steps - m0*m0/(steps*steps) /(N* t *t))

应该是：

specificheat.append((e1/steps/N - e0*e0/(steps*steps*N*N)) / (t * t))
susceptibility.append((m1/steps/N - m0*m0/(steps*steps*N*N)) / t)

(你最好早点把能量和磁化平均)

这使热容量和磁化率达到正值。请注意敏感性分母中的单个 t。

现在程序（希望）是正确的，让我们谈谈物理学。对于每个温度，您都从一个完全向上的自旋状态开始，然后让它一次演化一个自旋。显然，除非温度为零，否则此初始状态远离热平衡，因此系统将开始向对应于给定温度的状态 space 的部分漂移。此过程称为热化，在此期间收集静态信息毫无意义。您必须始终将给定温度下的模拟分为两部分 - 热化和实际显着运行。需要多少次迭代才能达到平衡？很难说 - 采用能量的移动平均值并在它变得（相对）稳定时进行监控。

其次，更新算法每次迭代更改一次自旋，这意味着程序将探索状态 space 非常缓慢，您将需要大量迭代才能获得良好的近似值分区函数。旋转 200 次，1000 次迭代可能就足够了。

其余问题真的不属于这里。

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