R：在生成双变量正态样本时，'mu' 或 'Sigma' 可以在 MASS::mvrnorm() 中向量化吗？

Question

考虑以下数据，

n <- 3
phi0 <- 1
phi1 <- 0.1
phi2 <- 0.2
W2 <- runif(n,0,1)
W3 <- runif(n,0,1)
W <- cbind(W2,W3)
phi <- rbind(phi0,phi1,phi2)
rho <- 0.4
sigma1 <- exp(as.numeric(model.matrix(~W) %*% phi))
sigma2<- 1

library(MASS)
#Sigma <- ???
mu <- rep(0,2)
v <- mvrnorm(n, mu, Sigma)

sigma1 是我的方差向量。

我想生成一个双变量向量 v=(v1,v2)，长度 n，具有正态双变量分布。 v 的第 i 行具有均值 mu=(0,0)、相关性 rho=0.4 和边际方差 sigma=(sigma1, 1) 的双变量正态分布，其中 sigma1 接收第 i 行的值 sigma1。我该如何继续？

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编辑澄清

在 1D 情况下，rnorm 接受矢量化 mu 和 sigma，因此

rnorm(3, 0, sqrt(sigma1))

给出了来自 N(0, sqrt(sigma1[i])) 的样本。基本上 OP 要求 mvrnorm.

具有相同的功能

Answer 1

基本解决方案

不，它不能被矢量化。写一个 for 循环。

v <- matrix(0, n, 2)
for (i in 1:n) {
  sig11 <- sigma1[i]
  sig21 <- rho * sqrt(sig11)
  Sigma <- matrix(c(sig11, sig21, sig21, 1), 2)
  v[i, ] <- mvrnorm(1, c(0,0), Sigma)
  }

高级解决方案

给定一个协方差 Sigma

sig11 ^ 2                rho * sig11 * sig22
rho * sig11 * sig22      sig22 ^ 2

它的下三角乔列斯基因子L是

sig11          0
rho * sig22    sqrt(1 - rho ^ 2) * sig22

如果x <- rnorm(2)，则mu + L %*% x是来自N(mu, Sigma)的样本。

这给出了一个完全矢量化的解决方案

# mu1, mu2, sig11, sig22, rho can be
## length-n vectors
## scalars
## vectors than can be recycled to be length-n
birnorm <- function (n, mu1, mu2, sig11, sig22, rho) {
  x1 <- rnorm(n)
  x2 <- rnorm(n)
  z1 <- sig11 * x1 + mu1
  z2 <- rho * sig22 * x1 + sqrt(1 - rho ^ 2) * sig22 * x2 + mu2
  cbind(z1, z2)
  }

对于您的数据，您可以使用

v <- birnorm(3, 0, 0, sqrt(sigma1), 1, 0.4)

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为双变量情况重建mvrnorm

请注意，此函数可用于为双变量情况重建 mvrnorm。

mvrnorm2 <- function (n, mu, Sigma) {
  sig11 <- sqrt(Sigma[1])
  sig22 <- sqrt(Sigma[4])
  rho <- Sigma[2] / (sig11 * sig22)
  birnorm(n, mu[1], mu[2], sig11, sig22, rho)
  }

而且速度更快

mu <- c(0,0)
Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,1),2)
library(microbenchmark)
microbenchmark(mvrnorm(1000, mu, Sigma), mvrnorm2(1000, mu, Sigma))