MATLAB 中的 3D 拉普拉斯松弛

Question

我能够编写一个 MATLAB 程序，绘制两个金属板之间的一维拉普拉斯弛豫，以使用雅可比法找到平衡电位。

老实说，我不确定我是否理解我所做的，但这是代码的相关部分：

N=100;
V = zeros(N,N);
V(1,:)=-1;
V(N,:)=1;

for n=1:400
    for i=2:99
        for j=2:99
            V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j+1)+V(i,j-1))*0.25;
        end
    end
end

这是它的样子：

我想知道是否可以使用相同的方法在 3D 中做类似的事情。我想在 3D 中可视化类似的东西，一个 3D 潜力...框。

我尝试使用在 "Computational Physics. N. J. Giordano & H. Nakanishi, Eq.(5.8)" 中找到的类似方程式：

 V(i,j,k) = [V(i+1,j,k) + V(i-1,j,k) + V(i,j+1,k) + V(i,j-1,k) + V(i,j,k+1) + V(i,j,k-1)] * (1/6);

这里是我一直在努力工作的新代码：

N=10; % Used smaller number to reduce processing time.
V = zeros(N,N,N);
V(:,:,1)=-1; %i am using planes instead of axis as "Insulators"
V(:,:,N)=1;

for n=1:100
    for i=2:99
        for j=2:99
            for k=2:99
                V(i,j,k)=(V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)+V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1))*(1/6);
            end
        end
    end
end

我在 V(i,j,k) 所在的行中得到一个 Index exceeds matrix dimensions.。

所以，我再次尝试获取上面链接的 2D 图形的 3D 版本。 *另外，如果有人能解释一下（不是 MATLAB 部分，而是数学部分）我在这里用那个方程式到底做了什么，它可以用来做什么，我将不胜感激？

非常感谢您的帮助。

编辑：我忘了问：你如何绘制这个 3D 数组？

Answer 1

您已定义 N 但在此过程中未使用它。由于您有 i-1 和 j-1 等值，因此您需要从 2 开始。对于 i+1 和 j+1 等值，您需要以 N-1 结尾。因此，工作代码将如下所示：

N=10; % Used smaller number to reduce processing time.
V = zeros(N,N,N);
V(:,:,1)=-1; %i am using planes instead of axis as "Insulators"
V(:,:,N)=1;

for n=1:1
    for i=2:N-1
        for j=2:N-1
            for k=2:N-1
                V(i,j,k)=(V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)+V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1))*(1/6);
            end
        end
    end
end

此外，第一个 for-loop 在您提供的这段代码中似乎什么也没做。

MATLAB 中的 3D 拉普拉斯松弛

3D Laplace Relaxation in MATLAB

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