二叉树，数组与链接
Binary Trees, arrays vs linked
一般来说，基于二叉树的抽象可以使用实际的链接节点 objects 来实现，其中每个节点都有指向它的两个 children 的指针，或者一个数组，其中 children 索引 k 中的节点是 2k 和 2k+1.
除了节点的小额外内存开销外，一般的复杂度似乎是相同的。
两者之间有什么具体的优势吗？有趣的是，我发现二叉堆倾向于使用数组实现，而二叉搜索树倾向于使用链接节点实现。有什么原因吗？
数组不能有效表示任意形状的二叉树，只能表示完整棵树。完全二叉树是所有层都满的，或者除最深层以外的所有层都满的，最深层的所有节点都尽可能向左。 （你可以想象，关卡从左到右都是节点，必须先填满一层才能开始下一层。）
根据定义，堆是完整的二叉树 - 因此由于其卓越的内存效率而使用数组实现。另一方面，必须支持在任意位置插入和删除的二叉搜索树（因此可能不是完整的树）不能使用数组实现。
首先，是一个合理的问题：二叉树确实可以嵌入到数组中。 是不正确的：可以通过一些努力将任意形状的树嵌入到数组中（只要你有足够的内存）。一种直接的表示形式是将 Node 定义为变体类型：它是 Filled 或 Empty，其中 Filled 包含密钥和辅助数据，而 Empty 类似于 Nil （又名空指针）。如果你需要支持的唯一操作是delete，那么你就全部设置好了：只需将build操作实现到return一棵完整的树，然后再实现普通的二叉树delete 操作。无需平衡即可达到 O(log n) 复杂性界限（其中 n 是树的初始项目数）。
也可以通过保持树的平衡形状来实施 insert 操作。稍微简化一下，您维护一个几乎完整的树，其存储大小不超过 2n（其中 n 是树中的当前项目数）。插入新项时，检查要插入的适当数组单元格的位置：如果它在分配的存储空间内，则只需将其写入该单元格。否则，您从该单元格的父级开始向上爬树，直到找到一个子树，该子树的存储空间足以容纳所有项目，包括新项目；如果不存在这样的子树，则将存储空间加倍。找到该子树后，将其重建为接近完整的形状，并将新项插入正确的数组单元格（现在保证在分配的存储空间内）。所有这些都可以在摊销的 O(log^2(n)) 时间内完成，或者在摊销的 O(log(n)) 时间内完成更多工作。
以上算法草图基于"Cache Oblivious Search Trees via
小高度二叉树.
我实现了一个名为TeardownTree的数据结构，它使用了这种嵌入。我支持 master 分支上的 build、delete、delete_range、query_range、iter 操作，以及 [=] 上的实验性 insert 操作21=] 分支。项目页面还包含一些基准，表明数据结构至少对于某些用途绝对可行。
您可能还对 this blog post 解释如何在常量辅助 space 中构建树感兴趣（一种在实践中非常快速的方法）。
一般来说，基于二叉树的抽象可以使用实际的链接节点 objects 来实现，其中每个节点都有指向它的两个 children 的指针，或者一个数组，其中 children 索引 k 中的节点是 2k 和 2k+1.
除了节点的小额外内存开销外，一般的复杂度似乎是相同的。
两者之间有什么具体的优势吗？有趣的是，我发现二叉堆倾向于使用数组实现，而二叉搜索树倾向于使用链接节点实现。有什么原因吗？
数组不能有效表示任意形状的二叉树，只能表示完整棵树。完全二叉树是所有层都满的，或者除最深层以外的所有层都满的，最深层的所有节点都尽可能向左。 （你可以想象，关卡从左到右都是节点，必须先填满一层才能开始下一层。）
根据定义，堆是完整的二叉树 - 因此由于其卓越的内存效率而使用数组实现。另一方面，必须支持在任意位置插入和删除的二叉搜索树（因此可能不是完整的树）不能使用数组实现。
首先，是一个合理的问题：二叉树确实可以嵌入到数组中。 Node 定义为变体类型：它是 Filled 或 Empty，其中 Filled 包含密钥和辅助数据，而 Empty 类似于 Nil （又名空指针）。如果你需要支持的唯一操作是delete，那么你就全部设置好了：只需将build操作实现到return一棵完整的树，然后再实现普通的二叉树delete 操作。无需平衡即可达到 O(log n) 复杂性界限（其中 n 是树的初始项目数）。
也可以通过保持树的平衡形状来实施 insert 操作。稍微简化一下，您维护一个几乎完整的树，其存储大小不超过 2n（其中 n 是树中的当前项目数）。插入新项时，检查要插入的适当数组单元格的位置：如果它在分配的存储空间内，则只需将其写入该单元格。否则，您从该单元格的父级开始向上爬树，直到找到一个子树，该子树的存储空间足以容纳所有项目，包括新项目；如果不存在这样的子树，则将存储空间加倍。找到该子树后，将其重建为接近完整的形状，并将新项插入正确的数组单元格（现在保证在分配的存储空间内）。所有这些都可以在摊销的 O(log^2(n)) 时间内完成，或者在摊销的 O(log(n)) 时间内完成更多工作。
以上算法草图基于"Cache Oblivious Search Trees via 小高度二叉树.
我实现了一个名为TeardownTree的数据结构，它使用了这种嵌入。我支持 master 分支上的 build、delete、delete_range、query_range、iter 操作，以及 [=] 上的实验性 insert 操作21=] 分支。项目页面还包含一些基准，表明数据结构至少对于某些用途绝对可行。
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