计算小数点后三位的部分和

Question

我的作业需要帮助来计算以下系列的部分和，该部分总和在系列值的 0.001 以内。

系列 1：
系列 2：

我为类似的系列 1/n^3 尝试了以下代码，它通过给我 n=71 运行良好：

Solve[Abs[Integrate[1/n^3, n]] == .0001, n]

Limit[N[Sum[1/i^3, {i, 71, n}]], n -> Infinity]

但是当我尝试使用 series1 和 series2 进行相同设置时，它不起作用。我问了几个人，他们给了我提示，我必须对 series1 使用 FindRoot，对 series2 使用 while 循环，但是，当我尝试这样做时，它也失败了。任何形式的帮助都将不胜感激，因为我已经尝试解决这些问题很多个小时了，但几乎一无所获。

Answer 1

对于您的第一个总和，您可以使用余数 \sum_{n=M}^\inf \log n/n^2 从上方以 \int_{M-1}^\inf \log n/n^2 \text{d}n = \frac{1+\log(M-1)}{M-1} 为界的事实。现在，由于此表达式作为 M 的函数是单调递减的（因为原始总和的所有项都是正数），您可以找到它低于所需阈值的值：

M = Ceiling[(x /. FindRoot[(1 + Log[x-1])/(x-1) == 0.001, {x, 10}])]
10235

N[Sum[Log[n]/n^2, {n, 1, \[Infinity]}]] - N[Sum[Log[n]/n^2, {n, 1, M}]]
0.000999816

第二个求和比较简单，因为我们知道确切的结果是 -Log[2]，因此可以直接用 While 循环检查需要多少项：

s = 0; j = 0; While[Abs[-Log[2.] - s] > 0.001, j += 1; s += (-1)^j/j;]; j
500

N[Abs[-Log[2] - Sum[(-1)^n/n, {n, 1, j}]]]
0.000999

计算小数点后三位的部分和

Calculating the partial sum of series within three decimal places

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