为什么 Leans `Propositions 得到特殊对待？

Question

自从我开始阅读交互式精益教程以来，一个问题一直困扰着我：Type 中单独的 Prop 层次结构的目的是什么？

据我现在的理解，我们有以下宇宙层次结构：

Type (n+1)
  |   \
  |   Sort (n+1)
  |     |
Type n  | (?)
  |   \ |
 ...  Sort n
  |     |
Type 0 ... (?)
  |   \ |
 nat  Prop
  |     |
  0   p ∧ q
        |
     ⟨hp, hq⟩

标有 ? 的边缘是实际存在的还是我只是编造的（可能）？
从 swift 对 Agda 和 Idris 的调查来看，他们似乎没有区分 Sort n 和 Type n。为什么精益要区分它们？

Prop 的奇怪之处在于它一方面像归纳类型（例如，它是封闭的，这意味着 p ∧ nat 没有意义），但在另一方面却像一种归纳类型一样使用另一方面（例如，通过为 p 构造证明 value 来显示要居住的 type p : Prop）。我怀疑这与区别有关，但我无法表达清楚。有一些基础论文可以阅读吗？

Answer 1

nat-indexed universe 只有一个层次结构 Sort u。来自 Chapter 3 of Theorem Proving in Lean:

In fact, the type Prop is syntactic sugar for Sort 0, the very bottom of the type hierarchy described in the last chapter. Moreover, Type u is also just syntactic sugar for Sort (u+1).

在 Extended Calculus of Constructions 中引入了拥有一个谓语底层宇宙 Prop 和一个谓语层次结构 Type u 在它之上的想法。精益将 Sort 作为一个单一的广义层次结构引入，这样定义就可以覆盖所有使用 Sort u 的宇宙，而不需要为 Prop 和 Type u.

单独定义

相比之下，Idris 和 Agda 中的底层宇宙并没有做任何特别的事情，因此它们对整个层次结构使用一个名称。

为什么 Leans `Propositions 得到特殊对待？

Why do Leans `Prop`ositions get special treatment?

types

theorem-proving

curry-howard

lean