旋转矩阵 - 变换顺序

Question

对于一项大学作业，我有一个关于在 PowerPoint 中旋转图片的问题。在 PowerPoint 中，一张图片可以有四种变换。向右旋转（90°）、向左旋转（90°）、水平翻转和垂直翻转。让我们简称为 R(r)、R(l)、F(v) 和 F(h)。

然后我们被要求为每对可能的变换计算矩阵乘法。

例如R(r)*(R(r) 或 R(r)*F(h)

所有这些对我来说似乎相当简单，但他们在我不理解的问题中指定了一些内容。

R(r) X R(l) is read from right to left as “rotate left” then “rotate the result right” because Powerpoint transformations are performed in world coordinates

有人可以向我解释为什么我会从左到右阅读吗？这是否意味着当我将矩阵相乘时，当被要求做 R(r) X r(l)

时，我实际上会做 R(l) X (R(r)

为什么世界坐标会影响这个？

我是从左到右阅读所有变换还是只阅读一些变换？

Answer 1

希望有人能给出比我更好的答案。 2x2 变换矩阵 T1 和 T2 正在将 2d 向量 v 转换为新的 2d 向量 v_t，这样

v_t = T2 * T1 * v

从左到右的变换在数学上是不可能的

v_t = v * T1 * T2

因为二维向量不能与 2x2 矩阵相乘。让我们看看组件形式的v * T1：

              _    _         _          _
              | vx |         | t00   t01 | 
 v * T1  =    | vy |    *    | t10   t11 |    // invalid matrix multiplication
              -    -         -           -

因此向量 v 必须转换的右边。如果有人接受这一点，那么在 T2 * T1 * v 的情况下，转换 T1 首先应用于向量 v 是可以理解的，因为它写得最接近它:) .. 。只是在开玩笑。存在一个mathematically profound explanation。不知何故，我什至记得线性代数课上的证明，但我找不到。

但是，矩阵乘法是从左到右进行的，这样

v_t = T * v,  with  T = T2 * T1

旋转矩阵 - 变换顺序

Rotation matrices - Order of transformations

rotation

matrix-multiplication

coordinate-transformation