使用策略通过互感应证明 even + even = even
Proving even + even = even with mutual induction using tactics
我在 Coq 中尝试互感,我定义的第一个类型是
Inductive IsEven : nat -> Prop :=
| EvenO : IsEven O
| EvenS n : IsOdd n -> IsEven (S n)
with IsOdd : nat -> Prop :=
| OddS n : IsEven n -> IsOdd (S n).
我现在想证明偶数之和是偶数。我能够使用 Fixpoint 和模式匹配来做到这一点:
Fixpoint even_plus_even (n m : nat) (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m) : IsEven (n + m) :=
match evenn with
| EvenO => evenm
| EvenS n' oddn' => EvenS (n' + m) (odd_plus_even n' m oddn' evenm)
end
with odd_plus_even (n m : nat) (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m) : IsOdd (n + m) :=
match oddn with
| OddS n' evenn' => OddS (n' + m) (even_plus_even n' m evenn' evenm)
end.
这定义了 even_plus_even
和 odd_plus_even
。我现在想以更简洁的方式使用策略来证明这一点(最好不使用许多预定义的引理来使代码尽可能独立),但我还没有走得太远。
具体来说,是否可以像使用 Fixpoint 一样仅使用一个引理来证明 even_plus_even
和 odd_plus_even
?
编辑: 非常感谢您的回答,Lemma ... with ...
语法正是我要找的。事实上
Lemma even_plus_even2 (n m : nat) (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m) : IsEven (n + m)
with odd_plus_even2 (n m : nat) (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m) : IsOdd (n + m).
Proof.
induction evenn; simpl. assumption. constructor. auto.
induction oddn; simpl. constructor. auto.
Defined.
生成与我原来问题中的 Fixpoint
完全相同的证明项。
Coq 支持互感。我知道两种方法,但我只记得如何使用一种方法:
- 组合方案
工作原理如下:
Scheme IsEven_ind2 := Induction for IsEven Sort Prop
with IsOdd_ind2 := Induction for IsOdd Sort Prop.
Combined Scheme IsEvenOdd_ind from IsEven_ind2, IsOdd_ind2.
Lemma foo: (forall (n: nat) (evenn: IsEven n), forall m (evenm: IsEven m), IsEven (n + m) ) /\
(forall (n: nat) (oddn: IsOdd n), forall m (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
apply IsEvenOdd_ind.
- now intros m hm.
- intros h hn hi m hm.
rewrite plus_Sn_m.
apply EvenS.
now apply hi.
- intros h hn hi m hm.
rewrite plus_Sn_m.
apply OddS.
now apply hi.
Qed.
Lemma
with
关于这个,我只是不知道如何完成它,但这是一个语法问题 iirc:
Lemma foo: forall (n m: nat) (evenn: IsEven n) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
with bar: forall (n m: nat) (oddn: IsOdd n) (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m).
Proof.
- intros n m hn; revert m; induction hn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
+ exact hm.
+ now apply EvenS; apply bar.
- intros n m hn hm; revert n hn; induction hm as [ | p hp]; intros n hn; simpl in *.
+ now apply bar; [ exact hn | apply EvenO ].
+ apply bar; [ exact hn | ].
now apply EvenS.
(* can't Qed, I get a Error: Cannot guess decreasing argument of fix. *)
Qed.
编辑:
这是 Lemma with
解决方案的有效语法。
Lemma foo (n: nat) (evenn: IsEven n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
with bar (n: nat) (oddn: IsOdd n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m).
Proof.
- induction evenn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
+ exact hm.
+ now apply EvenS; apply bar.
- induction oddn as [p hp]; intros n hn; simpl in *.
+ apply OddS.
now apply foo.
Qed.
例如,您可以通过 "anding" 将两个引理同时证明为一个引理,然后使用 proj1
和 [=14= 提取子句的左侧或右侧部分].
Lemma even_or_odd_plus_even: forall (n m : nat),
(forall (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m), IsEven (n + m)) /\
(forall (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
induction n; split; intros;
try destruct (IHn m) as [He Ho];
try apply evenm;
try inversion oddn;
try inversion evenn;
constructor; auto.
Qed.
Definition even_plus_even n m := proj1 (even_or_odd_plus_even n m).
Definition odd_plus_even n m := proj2 (even_or_odd_plus_even n m).
给你
even_plus_even : forall n m : nat, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n + m)
odd_plus_even : forall n m : nat, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n + m)
请注意,这两个子句共享 n
和 m
,如果子句不能单独证明,因为它们需要相互依赖,则需要这样做。 (但在这种特殊情况下,他们没有。您 可以 单独证明这些陈述,正如 Anton 所展示的那样。)
编辑:刚看到 Vinz 解决方案。我不知道 Lemma 有 with
语法(感谢展示!),但这是有道理的,我认为这是一种更简洁的方式来完成这个相互依赖的定义。
Lemma even_plus_even: forall n m, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n+m)
with odd_plus_even: forall n m, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n+m).
Proof.
induction 1; simpl; auto using EvenS.
induction 1; simpl; auto using OddS.
Qed.
我在 Coq 中尝试互感,我定义的第一个类型是
Inductive IsEven : nat -> Prop :=
| EvenO : IsEven O
| EvenS n : IsOdd n -> IsEven (S n)
with IsOdd : nat -> Prop :=
| OddS n : IsEven n -> IsOdd (S n).
我现在想证明偶数之和是偶数。我能够使用 Fixpoint 和模式匹配来做到这一点:
Fixpoint even_plus_even (n m : nat) (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m) : IsEven (n + m) :=
match evenn with
| EvenO => evenm
| EvenS n' oddn' => EvenS (n' + m) (odd_plus_even n' m oddn' evenm)
end
with odd_plus_even (n m : nat) (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m) : IsOdd (n + m) :=
match oddn with
| OddS n' evenn' => OddS (n' + m) (even_plus_even n' m evenn' evenm)
end.
这定义了 even_plus_even
和 odd_plus_even
。我现在想以更简洁的方式使用策略来证明这一点(最好不使用许多预定义的引理来使代码尽可能独立),但我还没有走得太远。
具体来说,是否可以像使用 Fixpoint 一样仅使用一个引理来证明 even_plus_even
和 odd_plus_even
?
编辑: 非常感谢您的回答,Lemma ... with ...
语法正是我要找的。事实上
Lemma even_plus_even2 (n m : nat) (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m) : IsEven (n + m)
with odd_plus_even2 (n m : nat) (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m) : IsOdd (n + m).
Proof.
induction evenn; simpl. assumption. constructor. auto.
induction oddn; simpl. constructor. auto.
Defined.
生成与我原来问题中的 Fixpoint
完全相同的证明项。
Coq 支持互感。我知道两种方法,但我只记得如何使用一种方法:
- 组合方案
工作原理如下:
Scheme IsEven_ind2 := Induction for IsEven Sort Prop
with IsOdd_ind2 := Induction for IsOdd Sort Prop.
Combined Scheme IsEvenOdd_ind from IsEven_ind2, IsOdd_ind2.
Lemma foo: (forall (n: nat) (evenn: IsEven n), forall m (evenm: IsEven m), IsEven (n + m) ) /\
(forall (n: nat) (oddn: IsOdd n), forall m (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
apply IsEvenOdd_ind.
- now intros m hm.
- intros h hn hi m hm.
rewrite plus_Sn_m.
apply EvenS.
now apply hi.
- intros h hn hi m hm.
rewrite plus_Sn_m.
apply OddS.
now apply hi.
Qed.
Lemma
with
关于这个,我只是不知道如何完成它,但这是一个语法问题 iirc:
Lemma foo: forall (n m: nat) (evenn: IsEven n) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
with bar: forall (n m: nat) (oddn: IsOdd n) (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m).
Proof.
- intros n m hn; revert m; induction hn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
+ exact hm.
+ now apply EvenS; apply bar.
- intros n m hn hm; revert n hn; induction hm as [ | p hp]; intros n hn; simpl in *.
+ now apply bar; [ exact hn | apply EvenO ].
+ apply bar; [ exact hn | ].
now apply EvenS.
(* can't Qed, I get a Error: Cannot guess decreasing argument of fix. *)
Qed.
编辑:
这是 Lemma with
解决方案的有效语法。
Lemma foo (n: nat) (evenn: IsEven n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
with bar (n: nat) (oddn: IsOdd n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m).
Proof.
- induction evenn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
+ exact hm.
+ now apply EvenS; apply bar.
- induction oddn as [p hp]; intros n hn; simpl in *.
+ apply OddS.
now apply foo.
Qed.
例如,您可以通过 "anding" 将两个引理同时证明为一个引理,然后使用 proj1
和 [=14= 提取子句的左侧或右侧部分].
Lemma even_or_odd_plus_even: forall (n m : nat),
(forall (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m), IsEven (n + m)) /\
(forall (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
induction n; split; intros;
try destruct (IHn m) as [He Ho];
try apply evenm;
try inversion oddn;
try inversion evenn;
constructor; auto.
Qed.
Definition even_plus_even n m := proj1 (even_or_odd_plus_even n m).
Definition odd_plus_even n m := proj2 (even_or_odd_plus_even n m).
给你
even_plus_even : forall n m : nat, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n + m)
odd_plus_even : forall n m : nat, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n + m)
请注意,这两个子句共享 n
和 m
,如果子句不能单独证明,因为它们需要相互依赖,则需要这样做。 (但在这种特殊情况下,他们没有。您 可以 单独证明这些陈述,正如 Anton 所展示的那样。)
编辑:刚看到 Vinz 解决方案。我不知道 Lemma 有 with
语法(感谢展示!),但这是有道理的,我认为这是一种更简洁的方式来完成这个相互依赖的定义。
Lemma even_plus_even: forall n m, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n+m)
with odd_plus_even: forall n m, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n+m).
Proof.
induction 1; simpl; auto using EvenS.
induction 1; simpl; auto using OddS.
Qed.