证明语言的连接在 Agda 中是关联的

Question

我是 Agda 语言的新手，我正在使用 Agda 研究形式语言。

我在证明语言的连接是关联的时遇到了一些问题。证明将以黄色突出显示，因为 Agda 在以下代码中找不到“++Assoc”的单词：

LangAssoc : ∀{Σ}{l1 l2 l3 : Language Σ}{w : Word Σ} → (LangConc l1 (LangConc l2 l3)) w → (LangConc (LangConc l1 l2) l3) w
LangAssoc {l1 = l1} (conc x (conc y z)) = conc (conc (subst l1 (++Assoc _ _ _) x) y) z

其中“++Assoc”是表级联关联性的证明。

语言和串联定义如下：

Language : ℕ → Set₁
Language a = Word a → Set

data LangConc {Σ} (l1 l2 : Language Σ) : Language Σ where
  conc : ∀{w1 w2} → l1 w1 → l2 w2 → (LangConc l1 l2) (w1 ++ w2)

所以我想问一下是否有人可以解释一下我在这种情况下做错了什么，并给我一些解决问题的提示。

编辑 1：我尝试过在连接之外使用 subst 的另一种方法，但我陷入了这种情况：

LangAssoc : ∀{Σ} {l1 l2 l3 : Language Σ} {w : Word Σ} → (LangConc l1 (LangConc l2 l3)) w → (LangConc (LangConc l1 l2) l3) w
LangAssoc {Σ} {l1 = l1} {l2 = l2} {l3 = l3} (conc x (conc y z)) = subst {!!} (++Assoc {Σ} _ _ _) (conc {Σ} (conc {Σ} x y) z)

编辑 2：我刚刚尝试使用以下代码并产生错误消息。

LangAssoc : ∀{Σ} {l1 l2 l3 : Language Σ} {w : Word Σ} → (LangConc l1 (LangConc l2 l3)) w → (LangConc (LangConc l1 l2) l3) w
LangAssoc {l1 = l1} {w = w} (conc x (conc y z)) =  ?

w1 ++ w2 != w of type List (Fin Σ)
when checking that the pattern conc x (conc y z) has type
LangConc l1 (LangConc l2 l3) w

编辑 3：再次尝试按照建议将单词 w 分成三部分。

LangAssoc : ∀{Σ : ℕ}{l1 l2 l3 : Language Σ}{w1 w2 w3 : Word Σ} 
             → (LangConc l1 (LangConc l2 l3)) (w1 ++ w2 ++ w3)
             → (LangConc (LangConc l1 l2) l3) ((w1 ++ w2) ++ w3)
LangAssoc (conc {w1} x (conc {w2} {w3} y z))
   = subst (LangConc (LangConc _ _) _) (++Assoc w1 w2 w3) (conc (conc x y) z)

错误信息：

w4 != w1 of type List (Fin Σ)
when checking that the pattern conc {w1} x (conc {w2} {w3} y z) has
type LangConc l1 (LangConc l2 l3) (w1 ++ w2 ++ w3)

其中 List (Fin Σ) 是 Word Σ 的定义。

Answer 1

问题是 ++ 不是单射的（即使是，Agda 也不知道）所以当试图解决 x ++ (y ++ z) ?= _1 ++ (_2 ++ _3) 时，没有最通用的解决方案 Agda可以挑。

例如说 _1 = []、_2 = x、_3 = y ++ z 就可以了。

编辑：在 LangConc l1 (LangConc l2 l3) w 上进行模式匹配后引入 w 真的没有意义：w 已分为 3 个部分（对应于 l1、l2 和 l3）。介绍这几部分比较有意思：

LangAssoc (conc {w1} x (conc {w2} {w3} y z)) =
  subst (LangConc (LangConc _ _) _) (++Assoc w1 w2 w3) (conc (conc x y) z)

证明语言的连接在 Agda 中是关联的

Proving concatenation of language is associative in Agda

regular-language

agda

dependent-type

formal-languages