球坐标中的矢量方向
Vector orientation in spherical coordinates
我正在尝试表征一组 3D 笛卡尔向量 V = {v_i} 与固定 z 轴的 angular 偏差。 V 是通过对一个复杂的物理系统进行离散采样而构建的，因此它会受到噪声、稀疏采样等问题的影响。如果我们在球坐标系中工作，我将方位角定义为 "phi" 以及与 z 轴的高度或极角作为 "theta"（"physics" 约定描述 here）。
我最感兴趣的是 V 的元素和 z 轴之间的角度 theta，所以我构建了一个区域归一化直方图 P_approx(theta)，在 theta 上具有 1 度的 bin 宽度范围从 0 到 180 度，用作真实概率分布 P(theta) 的近似值。 P_approx(theta) 在 0 和 180 之间达到峰值，并在 theta = 0 和 theta = 180 时下降到零。只有 theta 的直方图是可取的，因为系统应该显示方位角对称并且对所有 phi 值求和可以改善结果直方图的统计信息。
我不愿意使用 P_approx(theta) 来表征我系统中的 angular 行为，因为相对于 theta = 0 和 theta = 180 附近的方向，接近 theta = 90 的方向更受欢迎（沿 phi 积分时单位球体的表面积更大）。例如，如果矢量均匀采样单位球体的上半球（0 < theta < 90，0 < phi < 360），P(theta) 仍将达到峰值。这是误导。
有谁知道一种更具物理洞察力的方法来表征数据集 V 的 angular 偏好？
据我了解，您对密度感兴趣，而不是积分（就像您现在所做的那样）。
更清楚地说：您对 phi (0 < phi < 360) 上的直方图进行积分，并将结果放入正确的直方图 bin 中。要获得密度，您只需除以要为该特殊容器积分的圆锥体的表面积即可。更准确地说，您在空心（薄壁）圆锥之类的东西上积分，因此您实际上应该除以该空心圆锥的体积。
我正在尝试表征一组 3D 笛卡尔向量 V = {v_i} 与固定 z 轴的 angular 偏差。 V 是通过对一个复杂的物理系统进行离散采样而构建的，因此它会受到噪声、稀疏采样等问题的影响。如果我们在球坐标系中工作，我将方位角定义为 "phi" 以及与 z 轴的高度或极角作为 "theta"（"physics" 约定描述 here）。
我最感兴趣的是 V 的元素和 z 轴之间的角度 theta，所以我构建了一个区域归一化直方图 P_approx(theta)，在 theta 上具有 1 度的 bin 宽度范围从 0 到 180 度，用作真实概率分布 P(theta) 的近似值。 P_approx(theta) 在 0 和 180 之间达到峰值，并在 theta = 0 和 theta = 180 时下降到零。只有 theta 的直方图是可取的，因为系统应该显示方位角对称并且对所有 phi 值求和可以改善结果直方图的统计信息。
我不愿意使用 P_approx(theta) 来表征我系统中的 angular 行为，因为相对于 theta = 0 和 theta = 180 附近的方向，接近 theta = 90 的方向更受欢迎（沿 phi 积分时单位球体的表面积更大）。例如，如果矢量均匀采样单位球体的上半球（0 < theta < 90，0 < phi < 360），P(theta) 仍将达到峰值。这是误导。
有谁知道一种更具物理洞察力的方法来表征数据集 V 的 angular 偏好？
据我了解，您对密度感兴趣，而不是积分（就像您现在所做的那样）。
更清楚地说：您对 phi (0 < phi < 360) 上的直方图进行积分，并将结果放入正确的直方图 bin 中。要获得密度，您只需除以要为该特殊容器积分的圆锥体的表面积即可。更准确地说，您在空心（薄壁）圆锥之类的东西上积分，因此您实际上应该除以该空心圆锥的体积。