快速有效地计算已知特征值的特征向量

Question

我的问题的简短版本：

如果我们已经知道属于特征向量的特征值，那么计算矩阵特征向量的最佳方法是什么A？

更长的解释:

我有一个很大的随机矩阵 A，因为它是随机的，所以它有一个非负左特征向量 x（使得 A^Tx=x）。

我正在寻找快速有效的方法来对这个向量进行数值计算。（最好在 MATLAB 或 numpy/scipy 中——因为这两个都围绕 ARPACK/LAPACK，任何一个都可以）。

我知道 1 是 A 的最大特征值，所以我知道调用这样的东西 Python 代码：

from scipy.sparse.linalg import eigs
vals, vecs = eigs(A, k=1)

将导致 vals = 1 和 vecs 等于我需要的向量。

然而，这里困扰我的是，计算特征值通常比求解线性系统更难，而且一般来说，如果矩阵 M 具有特征值 l，那么找到合适的特征向量就是求解方程 (M - 1 * I) * x = 0 的问题，至少在理论上，这是一个比计算特征值更简单的操作，因为我们只是求解一个线性系统，更具体地说, 找到矩阵的零空间。

但是，我发现 MATLAB 中的所有零空间计算方法都依赖于 svd 计算，这是我无法在我的大小的矩阵上执行的过程。我也不能在线性方程上调用求解器，因为它们都只能找到一个解，而那个解是 0（是的，这是一个解，但不是我需要的那个）。

有什么方法可以避免调用类似 eigs 的函数来比计算最大特征值和伴随的特征向量更快地解决我的问题？

Answer 1

这是一种使用 Matlab 的方法：

设x表示左^†与特征值1相关的特征向量。它满足线性方程组（或矩阵方程) xA = x, 或 x(A −I)=0.
为避免该方程组的全零解，删除第一个方程并在其余方程中任意将 x 的第一个条目设置为 1。
求解那些剩余的方程式（x₁ = 1）得到x[=的其他条目58=].

使用 Matlab 的示例：

>> A = [.6 .1 .3 .2 .7 .1 .5 .1 .4]; %// example stochastic matrix >> x = [1, -A(1, 2:end)/(A(2:end, 2:end)-eye(size(A,1)-1))] x = 1.000000000000000 0.529411764705882 0.588235294117647 >> x*A %// check ans = 1.000000000000000 0.529411764705882 0.588235294117647

注意代码-A(1, 2:end)/(A(2:end, 2:end)-eye(size(A,1)-1))是第3步

在您的公式中，您将 x 定义为 A[=58= 的（列）右特征向量]^T（这样 A^Tx = x)。这只是上面代码中的x.'：

>> x = x.' x = 1.000000000000000 0.529411764705882 0.588235294117647 >> A.'*x %// check ans = 1.000000000000000 0.529411764705882 0.588235294117647

你当然可以归一化特征向量求和 1:

>> x = x/sum(x) x = 0.472222222222222 0.250000000000000 0.277777777777778 >> A.'*x %'// check ans = 0.472222222222222 0.250000000000000 0.277777777777778

^{^†继usual convention。等价地，这对应于转置矩阵的右特征向量。}

快速有效地计算已知特征值的特征向量

Quickly and efficiently calculating an eigenvector for known eigenvalue

python

matlab

numeric

linear-algebra

eigenvector