模态运算符可以定义为布尔函数吗？

Question

为了简单起见，我们只考虑具有单个代理的 Kripke 结构，其知识由模态运算符 K 描述。我们知道，在所有相应的 K 由等价解释的 Kripke 结构中，任何公式 A

a) 公式 KA -> A（知识公理）有效，
b) 但公式 A -> KA 和 ¬KA 无效。

利用这些事实表明，模态运算符 K 的这种行为不能由任何布尔函数编码（即由 table 定义的真值）。

提示：假设KA的真值可以从A的真值使用K的真值table计算（与¬A相同由 A) 计算。考虑 K 的所有可能真值 table 并证明其中 none 具有上述属性 a) 和 b)。

我不明白那个提示...使 K 的真值 table 就像构造否定符号 ¬ 的真值 table 一样，在我看来这没有意义我认为只有否定某事而不仅仅是否定

Answer 1

Consider all possible truth tables for K:

| A | K₁A | K₂A  | K₃A | K₄A |
—————————————————————————————
| 1 |  1  |  1  |  0  |  0  |
—————————————————————————————
| 0 |  1  |  0  |  1  |  0  |

Show that none of them grants the properties a) and b) mentioned above.

案例一

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  1  |   1   |   1   |  0  |
—————————————————————————————————
| 0 |  1  |   0   |   1   |  0  |

在这种情况下，KA->A 不是重言式。

案例二

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  1  |   1   |   1   |  0  |
—————————————————————————————————
| 0 |  0  |   1   |   1   |  1  |

在这种情况下，A->KA是重言式。

案例三

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  0  |   1   |   0   |  1  |
—————————————————————————————————
| 0 |  1  |   0   |   1   |  0  |

在这种情况下，KA->A 不是重言式。

案例4

| A | KA  | KA->A | A->KA | ¬KA |
—————————————————————————————————
| 1 |  0  |   1   |   0   |  1  |
—————————————————————————————————
| 0 |  0  |   1   |   1   |  1  |

在这种情况下，¬KA是重言式。

K 的期望行为可以用多值矩阵编码吗？

对于道德模态系统，答案如下：

3 个值不足，
4个值足以满足所谓的基本模态逻辑，
对于语法上“完整”和演绎上“自然”的模态系统，任何有限数量的值都是不够的。

见，e。例如，Jean-Yves Beseau the article 中的介绍部分。
我希望这些结果与认知模态系统相关。

模态运算符可以定义为布尔函数吗？

Can modal operator be defined as a boolean function?

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