networkx maximal_matching() 不return最大匹配

Question

我正在学习使用 networkx python 模块对二分图进行一些匹配。模块中有两个函数给出图的最大基数匹配：

nx.maximal_matching()
nx.bipartite.maxmum_matching()

请注意，虽然名称为 maximal_matching，但它的文档确实声明它 "Find a maximal cardinality matching in the graph."

由于我的图是二分图，我假设这两个图会给出相同的结果，至少两者的边数相同。然而，我的代码似乎表明 nx.maximal_matching() 给出了错误的答案：正如 nx.bipartite.maxmum_matching() 所建议的那样，可能还有一个优势。

下面是我的工作代码：

import networkx as nx
from networkx import bipartite    

def plotGraph(graph,ax,title):    
    pos=[(ii[1],ii[0]) for ii in graph.nodes()]
    pos_dict=dict(zip(graph.nodes(),pos))
    nx.draw(graph,pos=pos_dict,ax=ax,with_labels=True)
    ax.set_title(title)
    return   

if __name__=='__main__':    
    #---------------Construct the graph---------------
    g=nx.Graph()
    edges=[
            [(1,0), (0,0)],
            [(1,0), (0,1)],
            [(1,0), (0,2)],
            [(1,1), (0,0)],
            [(1,2), (0,2)],
            [(1,2), (0,5)],
            [(1,3), (0,2)],
            [(1,3), (0,3)],
            [(1,4), (0,3)],
            [(1,5), (0,2)],
            [(1,5), (0,4)],
            [(1,5), (0,6)],
            [(1,6), (0,1)],
            [(1,6), (0,4)],
            [(1,6), (0,6)]
            ]

    for ii in edges:
        g.add_node(ii[0],bipartite=0)
        g.add_node(ii[1],bipartite=1)

    g.add_edges_from(edges)

    #---------------Use maximal_matching---------------
    match=nx.maximal_matching(g)    
    g_match=nx.Graph()
    for ii in match:
        g_match.add_edge(ii[0],ii[1])

    #----------Use bipartite.maximum_matching----------
    match2=bipartite.maximum_matching(g)    
    g_match2=nx.Graph()
    for kk,vv in match2.items():
        g_match2.add_edge(kk,vv)

    #-----------------------Plot-----------------------
    import matplotlib.pyplot as plt
    fig=plt.figure(figsize=(10,8))

    ax1=fig.add_subplot(2,2,1)
    plotGraph(g,ax1,'Graph')

    ax2=fig.add_subplot(2,2,2)
    plotGraph(g_match,ax2,'nx.maximal_matching()')

    ax3=fig.add_subplot(2,2,3)
    plotGraph(g_match2,ax3,'bipartite.maximum_matching()')

    plt.show()

这是生成的图。如图所示，subplot-2 有 6 条边，而 3 有 7 条边。这是 networkx 实现中的错误还是我在这里做错了什么？

PS: 我的networkx是1.11版本

Answer 1

根据this bug report的回答，返回的匹配是最大匹配，而不是最大匹配。在他们的术语中（我不知道这有多常见）意味着它给出了局部最优而不是全局最优。

因此，对于 maximal_matching 返回的匹配，只能保证不能通过向该匹配添加边使其变大（同时仍然是匹配）。但是，不保证不存在多边的匹配。

Answer 2

networkx.maximal_matching 算法没有按照您想要的方式给出 最大基数 匹配。它实现了一个简单的贪心算法，其结果纯粹是在不能添加额外边的意义上是最大的。

它的对应项，对于您想要的全局最大基数匹配，是 networkx.max_weight_matching

Answer 3

用图论的说法，最大匹配和最大匹配是不同的（即使在二分图中也是如此）。正如 donkopotamus 所指出的，最大匹配仅意味着您不能向其添加更多边。最大匹配意味着没有匹配的边数超过它。这就是函数如此命名的原因。

也就是说，图论中没有最大基数匹配这样的东西。但不幸的是，文档使用了 "maximal cardinality matching" 这样的措辞。这很容易导致人们感到困惑；或者更糟的是误解了算法的目的。

networkx maximal_matching() 不return最大匹配

networkx maximal_matching() does not return maximum matching

python

graph

networkx

matching

bipartite