Matlab 和 Mathematica：寻找密度函数

Question

标准 Gamma 分布的 pdf 是 $f(x) = \frac{x^{\gamma-1} \exp(-x)}{\Gamma(\gamma)}$ 。如何找到随机变量 Z = X + Y 的 pdf，其中 Y 是正态分布？没有封闭形式的解析解，从解析入手非常困难。所以，想知道是否有一种方法可以使用使用卷积计算 pdf 的软件工具。

Answer 1

How do I find the pdf of of the random variable Z = X + Y where Y is the Normal distribution?

所以你的意思肯定是 X 是 Gamma 分布。在 Mathematica 中：

d = TransformedDistribution[x + y, 
   {Distributed[x, GammaDistribution[alpha, beta]], 
   Distributed[y, NormalDistribution[mu, std]]}];
PDF[d, x] // Simplify

给予

 (1/(Sqrt[Pi]*Gamma[alpha]))*((2^(-2 + alpha/2)*beta^(-1 - alpha)*
 std^(-2 + alpha)*             
  (Sqrt[2]*beta*std*Gamma[alpha/2]*Hypergeometric1F1[alpha/2, 1/2, 
  (std^2 + beta*(mu - x))^2/(2*beta^2*std^2)] - 
            2*(std^2 + beta*(mu - x))*Gamma[(1 + alpha)/2]*
        Hypergeometric1F1[(1 + alpha)/2, 3/2, (std^2 + beta
    *(mu - x))^2/(2*beta^2*std^2)]))/
      E^((mu - x)^2/(2*std^2)))

Mean[d]

Variance[d]

绘制一些参数

 Plot[pdf /. {mu -> 0, std -> 1, alpha -> 1, beta -> 2}, {x, -3, 10}]

Plot[pdf /. {mu -> .5, std -> 2, alpha -> 1, beta -> 5}, {x, -6, 20}]

Matlab 和 Mathematica：寻找密度函数

Matlab and Mathematica : Finding the density function

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