如何在 Coq 中证明半融合意味着融合？

Question

我使用 Coq.Relations 提供的定义，我有以下定义：

Definition joinable (x:A) (y:A) : Prop :=
  exists z, (clos_refl_trans A R x z) /\ (clos_refl_trans A R y z).

Notation "X ↓ Y" := (joinable X Y) (at level 70, right associativity).
Notation "X → Y" := (R X Y) (at level 75, right associativity).
Notation "X →* Y" := (clos_refl_trans A R X Y) (at level 75, right associativity).
Notation "X ⇆ Y" := (clos_refl_sym_trans A R X Y) (at level 75, right associativity).

Definition confluent : Prop := forall x y1 y2, (x →* y1 /\ x →* y2) -> (y1↓y2).
Definition semi_confluent : Prop := forall x y1 y2, (x → y1 /\ x →* y2) -> (y1↓y2).

这是我的资料：

Theorem semi_confluent_confluent : semi_confluent -> confluent.
Proof.
  unfold confluent, semi_confluent, joinable.
  intros. destruct H0. induction H0.
  - apply H with (x := x). split. auto. auto.
  - exists y2. split. auto. auto.
  - admit.
Admitted.

我尝试在 :

上使用归纳法

H0 : x →* y1

但我似乎卡在了最后一种情况（传递性）上。对于最后一个案例，我尝试了几种方法，比如对 (x →* z) 进行归纳，但它似乎让我得出了一个无法证明的陈述。

Answer 1

我认为通过对clos_refl_trans_1n关系（等价于clos_refl_trans）的归纳来证明定理会更容易一些。因为它给了我们两种情况：自反情况和我们实际 "make an R-step" 并且我们可以轻松使用半融合属性的情况，这需要 R 步。

我稍微更改了 confluent 和 semi_confluent 的定义以避免 wrappings/unwrappings 与连词相关。这不会影响任何东西，因为结果在逻辑上等同于原始结果。

我还应该指出，在许多情况下，我们需要在执行归纳之前概括我们的陈述。

Definition confluent : Prop := forall x y1 y2, x →* y1 -> x →* y2 -> (y1↓y2).
Definition semi_confluent : Prop := forall x y1 y2, x → y1 -> x →* y2 -> (y1↓y2).

Hint Constructors clos_refl_trans.

Theorem semi_confluent_confluent : semi_confluent -> confluent.
Proof.
  intros Hsemi x y1 y2 Hxy1 Hxy2.
  unfold semi_confluent, joinable in *.
  generalize dependent y2.
  induction (clos_rt_rt1n _ _ _ _ Hxy1) as [| x y1' y1 HRxy1' Hy1'y1 IH]; intros y2 Hxy2.
  - now exists y2.
  - apply clos_rt1n_rt in Hy1'y1.
    specialize (Hsemi x y1' y2 HRxy1' Hxy2) as (z & Hy1'z & Hy2z).
    specialize (IH Hy1'y1 z Hy1'z) as (w & Hy1w & Hzw).
    exists w.
    split; auto.
    now apply rt_trans with (y := z).
Qed.

如何在 Coq 中证明半融合意味着融合？

How to prove that semi-confluence implies confluence in Coq?

coq