多项式乘法的朴素分而治之方法

Question

给定两个多项式 A(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_n-1x^n-1, 和 B (x)，类似地用系数定义 b₀, b₁ ... b_n-1 , 我们求 A(x) * B(x).

我正在研究一个简单的分而治之算法作为学习Karatsuba算法的序言，我了解基本原理，即：

定义 A(x) = M₀(x) + M₁(x)x^n/2，其中 M₁(x) = a_n-1x^n/2-1 + a_n-2x^n/2-2 + ... + a_n/2（即上半系数）和 M₀(x) = a_n/2-1x^n/2-1 + a_n/2-2x^n/2-2 + ... + a₀（即下半系数），B(x) = N₀ (x) + N₁(x)x^n/2，其中 N₀( x) 和 N₁(x) 以类似于 M₀(x) 和 M_{1[=64 的方式定义=](x)，分别。那么我们可以将 A(x) * B(x) 重写为 (M₁N₁)xⁿ + (M₁N₀ + M₀N₁)x^n/2 + M₀N₀.}

但是，我在理解提供的伪代码中的 "conquer" 步骤时遇到了一些困难：

Function PolyMult(A, B, n, a, b)
    R = array[0 ... 2n - 1];
    if n = 1:
        R[0] = A[a] * B[b]; return R;
    R[0 ... n - 2] = PolyMult(A, B, n/2, a, b);
    R[n ... 2n - 2] = PolyMult(A, B, n/2, a + n/2, b + n/2);
    MN = PolyMult(A, B, n/2, a, b + n/2);
    NM = PolyMult(A, B, n/2, a + n/2, b);
    R[n/2 ... n + n /2 - 2] += MN + NM;
    return R;
End Function

具体来说，我不确定为什么结果数组的前 n - 1 项和最后 n - 1 项可以直接初始化，而中间的 n - 1 项需要通过加法赋值计算。有人可以详细说明算法的这方面吗？

总的来说，我认为我缺少一些关于递归或分而治之（似乎两者都有）的重要直觉。尝试实施递归分而治之解决方案时，重要的一般范例是什么？

Answer 1

提示：多项式 M0、M1、N0、N1 的（最大）次数是多少？

n/2-1

每个产品的（最大）度数是多少M0*N0 M1*N1 M0*N1 m1*N0？

n - 2

现在M1*N1*x^n的度数？

2*n - 2

M1*N1*x^n 从 0 到 n - 2 的系数值是多少？

那么它们是否与 M0*N0 的系数重叠？

no

现在最后一部分(M0*N1+M1*N0)*x^(n/2)，估值和度数是多少？

n/2 and n/2 + n - 2 respectively

这些是否与 M0*N0 和 M1*N1*x^n 部分重叠？

yes

所以你必须在最后一部分使用+=

多项式乘法的朴素分而治之方法

Naive Divide-and-Conquer Approach to Polynomial Multiplication

language-agnostic

algorithm

recursion

divide-and-conquer