如何解释对数对数市场组合模型中的系数
how to interpret coefficients in log-log market mix model
我是 运行 使用每周销售和媒体数据的多元 OLS 回归，如下所示。我想了解在进行对数线性、线性对数和对数对数等对数转换时如何计算销售贡献。
例如：
Volume_Sales = b0 + b1.TV_GRP + b2.SocialMedia + b3.PaidSearch + e
在这种情况下，电视贡献的销售额是 b1 x TV_GRPs（系数乘以当月的电视 GRP）
现在，我的问题是：我们如何计算以下情况的销售贡献：
对数线性： ln(Volume_Sales) = b0 + b1.TV_GRP + b2.SocialMedia + b3.PaidSearch + e
线性对数： Volume_Sales = b0 + b1.TV_GRP) + b2。 ln（社交媒体）+ b3。 ln(付费搜索) + e
对数对数： *ln(Volume_Sales) = b0 + b1.TV_GRP) + b2。 ln（社交媒体）+ b3。 ln（付费搜索）+ e**
一般来说，对数变换采用在乘法尺度上起作用的东西并在加法尺度上重新表示它，因此某些数学假设成立：其中包括线性。因此，为了超越我们许多人犯下的 "transform data we don't like" 范式，我喜欢从 "does it make most sense if an effect to this variable is additive (+3 units) or multiplicative (3 times as much, 20% reduction, etc)?" 的角度思考，你的诊断图（残差图、q-q 等）将很好地说明你最适合你的情况。
至于解释系数，这里有一些我见过的方法。
线性：y = b0 + b1x + e
解释：x 每增加 1 个单位，y 的平均值估计会增加 b1 个单位。
对数线性：ln(y) = b0 + b1x + e
解释：对于 x 每增加 1 个单位，y 的中位数估计变化 exp(b1) 倍。
线性对数：y = b0 + b1ln(x) + e
解释：当 x 加倍时，y 的平均值估计有 b1*ln(2) 个单位的增加。
对数对数：ln(y) = b0 + b1ln(x) + e
解释：当 x 加倍时，y 的中位数估计会发生 2^b1 倍的变化。
注：如果将 x 替换为 (x+1) 或 2x，考虑 y 会发生什么情况，可以很容易地推导出这些。
这些通用形式的解释在结合一些上下文的情况下往往更有意义，尤其是当您知道系数的符号时。假设您有一个估计 b1 为 -0.3 的对数线性模型。求幂，这是 exp(-0.3)=0.74，这意味着对于 x 每增加 1 个单位，y 的中位数估计变化 0.74 倍……或者更好，26% 减少.
对数线性表示指数：ln(y) = a x + b 等价于 y = exp(a x) * exp(b)，其形式为 A^x * B。同样，对数-log 变换给出幂律：ln(y) = a ln(x) + b 的形式为 y = B * x^a，其中 B = exp(b).
因此，在对数线性图上，指数将是一条直线，而幂律将在对数对数图上。
我是 运行 使用每周销售和媒体数据的多元 OLS 回归，如下所示。我想了解在进行对数线性、线性对数和对数对数等对数转换时如何计算销售贡献。
例如： Volume_Sales = b0 + b1.TV_GRP + b2.SocialMedia + b3.PaidSearch + e
在这种情况下，电视贡献的销售额是 b1 x TV_GRPs（系数乘以当月的电视 GRP）
现在，我的问题是：我们如何计算以下情况的销售贡献：
对数线性： ln(Volume_Sales) = b0 + b1.TV_GRP + b2.SocialMedia + b3.PaidSearch + e
线性对数： Volume_Sales = b0 + b1.TV_GRP) + b2。 ln（社交媒体）+ b3。 ln(付费搜索) + e
对数对数： *ln(Volume_Sales) = b0 + b1.TV_GRP) + b2。 ln（社交媒体）+ b3。 ln（付费搜索）+ e**
一般来说，对数变换采用在乘法尺度上起作用的东西并在加法尺度上重新表示它，因此某些数学假设成立：其中包括线性。因此，为了超越我们许多人犯下的 "transform data we don't like" 范式，我喜欢从 "does it make most sense if an effect to this variable is additive (+3 units) or multiplicative (3 times as much, 20% reduction, etc)?" 的角度思考，你的诊断图（残差图、q-q 等）将很好地说明你最适合你的情况。
至于解释系数，这里有一些我见过的方法。
线性：y = b0 + b1x + e
解释：x 每增加 1 个单位，y 的平均值估计会增加 b1 个单位。
对数线性：ln(y) = b0 + b1x + e
解释：对于 x 每增加 1 个单位，y 的中位数估计变化 exp(b1) 倍。
线性对数：y = b0 + b1ln(x) + e
解释：当 x 加倍时，y 的平均值估计有 b1*ln(2) 个单位的增加。
对数对数：ln(y) = b0 + b1ln(x) + e
解释：当 x 加倍时，y 的中位数估计会发生 2^b1 倍的变化。
注：如果将 x 替换为 (x+1) 或 2x，考虑 y 会发生什么情况，可以很容易地推导出这些。
这些通用形式的解释在结合一些上下文的情况下往往更有意义，尤其是当您知道系数的符号时。假设您有一个估计 b1 为 -0.3 的对数线性模型。求幂，这是 exp(-0.3)=0.74，这意味着对于 x 每增加 1 个单位，y 的中位数估计变化 0.74 倍……或者更好，26% 减少.
对数线性表示指数：ln(y) = a x + b 等价于 y = exp(a x) * exp(b)，其形式为 A^x * B。同样，对数-log 变换给出幂律：ln(y) = a ln(x) + b 的形式为 y = B * x^a，其中 B = exp(b).
因此，在对数线性图上，指数将是一条直线，而幂律将在对数对数图上。