程序的时间复杂度

Question

考虑以下 C 函数：

int f1(int n) {
    if(n == 0 || n == 1)
        return n;
    else 
        return (2 * f1(n-1) + 3 * f1(n-2));
}

我必须找到 f1(n)

的运行时间

我的解决方案：-

f1(n)运行次的递推关系可以写成

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c
Where c is a constant
Also T(0) =  T(1) = O(1) {Order of 1 (Constant Time)}

然后我用递归树的方法解决了这个递归关系

            ---
             |                   n  -------------------- cost = c     
             |                /     \
             |              n-1      n-2 ---------------- cost = 2c
             |             /  \      /   \
             |           n-2  n-3   n-3  n-4 ------------ cost = 4c
(n-1) levels |           /                 \
             |         ......................
             |        ........................
             |       .........................\
             |      ..........................n-2k
             |      /
            ---    n-k

左子树一直到

n-k = 1 => k = n-1

所以渐近上界是

c+2c+2^2c+2^3c+....+2^(n-1)c
    = Big-Oh(2^n)

同样右子树一直到

n-2k = 1 => k = (n-1)/2

所以渐近下界是

c+2c+2^2c+2^3c+....+2^((n-1)/2)c
   = Big-Omega(2^(n/2))

由于函数的上限和下限不同（而不是一个常数值）

Upper bound = 2^n =  2^(n/2) * 2^(n/2)
Lower bound = 2^(n/2)

所以在我看来我不能写T(n) = Theta(2^n)

但是这个问题的答案是时间复杂度 = Theta(2^n)

我做错了什么？

Answer 1

递归等价于提到这个界限的fibonacci numbers, there is a lot information about this recurrence on wikipedia. It is true that fibonacci is in O(2^n) and in Omega(2^(n/2)). There are related questions以及~θ(1.6n)的紧密界限。

Answer 2

只计算最后一级。其他层只是调用下一层。

程序的时间复杂度

Time complexity of program

algorithm

time-complexity

asymptotic-complexity