气球弦逆运动学

Question

我有一个模拟，其中我的气球在屏幕上弹跳，每个气球都附有一根绳子。它的功能就像一个约束。绳子应该服从重力，这样如果气球不是最大长度，应该松弛下垂。

为了解决这个问题，我用线段表示字符串。我让绳子开始垂直向下悬挂，然后遍历每个部分，将它指向气球，然后定位它以便连接。这使得行为非常接近我想要的，但是为了确保它不会离开中心，我将它转换回它根植的地方。问题是结束不再是连接的。如果我不必将字符串重置为垂直位置，这会起作用，但我必须这样做才能确保计算出松弛度。

我添加了一个临时解决方案，再次迭代它以重新连接它，行为是体面的，但它绝对不现实。可以在这里看到一个例子：http://www.mikerkoval.com/simulation/balloons

单击以创建气球。我不确定如何模拟重力。有没有更好的方法使这更现实？

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我正在努力解决悬链线函数中的 a 值。

我将函数定义为：

var k = function (a){
    return Math.pow((2 * a[0]*Math.sinh(h/(2 * a[0])) - sqrt(s*s-   v*v)), 2)
}

然而，当我调用

var sol = numeric.uncmin(k, [1]);

它运行了一会儿然后抛出一个 Nan 错误。我试图弄清楚问题出在哪里，但我收效甚微，因为我正在努力了解 uncmin

发生了什么

Answer 1

我想你想要的是通过p0和p1两个点找到悬链线的参数，锚点和气球的位置，给定弧长s，这是字符串的长度。

曲线的方程为

y = a cosh (x / a)

其中 a 是您需要确定的参数。让 v = y1 - y0 和 h = x1 - h0。通过一些代数，您可以证明 a 的值必须满足

sqrt(s*s - v*v) = 2 * a * sinh(h / (2a))

This article a nice discussion of how to solve this for a iteratively with Newton's method。作者对变量b = a/h进行了代入，使解space接近线性，因此牛顿会很快收敛到一个好的答案。

牛顿法是一种简单的迭代，需要曲线的显式导数和起点。上面的文章给出了导数。因为曲线非常接近线性，所以您可以选择该线性部分上的任何起点 - b = 0.2 即可。通过快速收敛，我的意思是每次迭代时正确有效数字的数量都会翻倍。因此在实践中，您可能会在 6 次或更少的迭代中获得双精度浮点数的所有数字。

一旦你有了参数，绘制你需要的显式曲线将是一个简单的模式。

如果 Newton 在 6 次左右的迭代中没有 收敛，那么问题的实例是一个非常病态的实例。在这里，这意味着一条非常接近直线的曲线。所以在 p0 和 p1!

之间画一条线就行了

所有这些都应该足够快：比您当前的近似值便宜。