如何创建一个对称矩阵，其中每个 row/column 都是已知向量的子集

Question

我有一个 7*1 向量 a = (1:7).'。我想从向量 a 形成一个大小为 4*4 的矩阵 A，这样 a 的元素形成矩阵 A 的反对角线，如下所示：

A = [1 2 3 4;
     2 3 4 5;
     3 4 5 6;
     4 5 6 7]

我希望这适用于一般 a，而不仅仅是当元素是连续整数时。

感谢任何帮助。

Answer 1

设置索引

将meshgrid的两个输出相加可以得到索引：

[x, y] = meshgrid(1:4, 0:3);
x + y;
% ans = [1     2     3     4
%        2     3     4     5
%        3     4     5     6
%        4     5     6     7];

如果 a 与您的示例一样，您可以到此为止。或者，使用它来索引一般向量 a。为了进行比较，我将使用与 rahnema1 为他们的方法所做的相同的示例输入：

a = [4 6 2 7 3 5 1];
[x, y] = meshgrid(1:4, 0:3);
A = a(x + y);    
% A = [4     6     2     7
%      6     2     7     3
%      2     7     3     5
%      7     3     5     1]

有许多种方法可以创建索引而不是使用 meshgrid，请参阅下面的基准测试函数以获取一些示例！

基准测试和七种不同的方法。

这里是运行不同方法的一些计时，包括使用 cumsum、repmat、hankel 的方法和简单的 for 循环。该基准测试是在 Matlab 2015b 中完成的，因此利用了 Matlab 优化等，而 rahnema1 答案中的 Octave 基准测试可能无法做到。我还使用了比 tic/toc 更强大的 timeit 函数，因为它进行了多次试验等

function benchie()
    n = 10000;    % (large) square matrix size
    a = 1:2*n-1;  % array of correct size, could be anything this long
    f1 = @() m1(a,n);  disp(['bsxfun:   ', num2str(timeit(f1))]);
    f2 = @() m2(a,n);  disp(['cumsum:   ', num2str(timeit(f2))]);
    f3 = @() m3(a,n);  disp(['meshgrid: ', num2str(timeit(f3))]);
    f4 = @() m4(a,n);  disp(['repmat:   ', num2str(timeit(f4))]);
    f5 = @() m5(a,n);  disp(['for loop: ', num2str(timeit(f5))]);
    f6 = @() m6(a,n);  disp(['hankel1:  ', num2str(timeit(f6))]); 
    f7 = @() m7(a,n);  disp(['hankel2:  ', num2str(timeit(f7))]); 
end
% Use bsxfun to do broadcasting of addition
function m1(a,n); A = a(bsxfun(@plus, (1:n), (0:n-1).')); end
% Use cumsum to do cumulative vertical addition to create indices
function m2(a,n); A = a(cumsum([(1:n); ones(n-1,n)])); end
% Add the two meshgrid outputs to get indices
function m3(a,n); [x, y] = meshgrid(1:n, 0:n-1); A = a(x + y); end
% Use repmat twice to replicate the meshgrid results, for equivalent one liner
function m4(a,n); A = a(repmat((1:n)',1,n) + repmat(0:n-1,n,1)); end
% Use a simple for loop. Initialise A and assign values to each row in turn
function m5(a,n); A = zeros(n); for ii = 1:n; A(:,ii) = a(ii:ii+n-1); end; end
% Create a Hankel matrix (constant along anti-diagonals) for indexing
function m6(a,n); A = a(hankel(1:n,n:2*n-1)); end
% Create a Hankel matrix directly from elements
function m7(a,n); A = hankel(a(1:n),a(n:2*n-1)); end

输出：

bsxfun:   1.4397 sec
cumsum:   2.0563 sec
meshgrid: 2.0169 sec
repmat:   1.8598 sec
for loop: 0.4953 sec % MUCH quicker!
hankel1:  2.6154 sec
hankel2:  1.4235 sec

所以你最好使用 rahnema1 的建议 bsxfun 或直接生成 hankel 矩阵，如果你想要一个衬垫，这里有一个很棒的 Whosebug 答案，它解释了 bsxfun的优点：In Matlab, when is it optimal to use bsxfun?

然而，for 循环的速度是原来的两倍多！ 结论：Matlab 有很多巧妙的方法来实现这样的事情，有时一个简单的 for 循环加上一些适当的预定义-分配和 Matlab 的内部优化可能是最快的。

Answer 2

您可以使用 hankel:

n= 4;
A= hankel(a(1:n),a(n:2*n-1))

其他解决方案(expansion/bsxfun):

在MATLAB r2016b /Octave中可以创建为：

A = a((1:4)+(0:3).')

在 r2016b 之前你可以使用 bsxfun:

A = a(bsxfun(@plus,1:4, (0:3).'))

示例input/output

a = [4 6 2 7 3 5 1]

A =

   4   6   2   7
   6   2   7   3
   2   7   3   5
   7   3   5   1

使用@Wolfie 提供的基准在 Octave 中测试：

 _____________________________________
|Method   |memory peak(MB)|timing(Sec)|
|=========|===============|===========|
|bsxfun   |2030           |1.50       |
|meshgrid |3556           |2.43       |
|repmat   |2411           |2.64       |
|hankel   |886            |0.43       |
|for loop |886            |0.82       |

如何创建一个对称矩阵，其中每个 row/column 都是已知向量的子集

How to create a symmetric matrix where each row/column is a subset of a known vector

matlab

matrix

diagonal

symmetry

设置索引

基准测试和七种不同的方法。