Matlab 中的混合整数最近最优解

Question

是否可以找到最接近混合整数问题的最优解？例如，我想要下面的简化问题：

f = [1;1;1];
intcon = 1:3;

Aeq = [0.99,0.97,0.15];
beq = 0.16;
lb = zeros(3,1);
ub = [1;1;1]; 

x = intlinprog(f,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

到 return x=[0;0;1] 因为这是 0.16 的 objective 值最接近的整数解。相反，目前 returns

Intlinprog stopped because no point satisfies the constraints.

不一定要运行intlinprog。如果 beq 较低，则理想情况下也需要工作，例如 0.14.

Answer 1

您可以引入一些松弛变量以允许在需要时违反约束，如下所示：

largeValue = 100; % choose some large value to penalise the constraint violation
f_ = [f; largeValue; largeValue]; % penalise both slack variables
Aeq_ = [Aeq, 1, -1]; % add a positive and negative slack variable to the constraint
beq_ = beq;
lb_ = [lb; 0; 0]; % limit the constraint to a positive number
ub_ = [ub; inf; inf];

x_ = intlinprog(f_,intcon,[],[],Aeq_,beq_,lb_,ub_); % solve the adapted problem
x = x_(1:3) % extract the solution of the original problem

备注

我添加了两个（正）松弛变量，一个用于正约束违规，另一个用于负约束违规。
你应该用一个大的值来惩罚松弛变量，否则违反你的约束是有益的，而不是严格必要的。更通用的方法是根据 f 和 Aeq 中的值确定一个好的惩罚值，例如
```
largeValue = 2*max(abs(f))/min(abs(Aeq(Aeq ~= 0)))
```

Matlab 中的混合整数最近最优解

Mixed-Integer Nearest Optimal Solution in Matlab

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