结合和交换之间的区别
Difference between associative and commutative
我正在尝试理解幺半群中的关联。
书上说：
Associativity simply says that you can associate the arguments of your
operation differently and the result will be the same.
例如：
Prelude> (1 + 9001) + 9001
18003
Prelude> 1 + (9001 + 9001)
18003
关于交换：
This is not as strong a property as an operation that commutes or is
commutative. Commutative means you can reorder the arguments and still
get the same result. Addition and multiplication are commutative, but
(++) for the list type is only associative.
上面的例子是结合律和交换律，但有什么区别呢？
我看不出区别。
如果幺半群运算是可交换的，我们将有 "a"<>"b" ≡ "b"<>"a"。但很明显，"ab" 和 "ba" 不是同一个字符串。
关联性是一个比较弱的属性，实际上人们通常认为它是任何操作的“obvious/trivial”。因此，让我们看一下 非 关联的操作——事实上，它很容易找到，例如减法:
5 - (3 - 1) = 3
(5 - 3) - 1 = 1
大多数操作既不是关联的也不是交换的。许多操作是关联的但不是可交换的。你很少会找到一个可交换但不结合的操作，尽管再次构造它很容易； an example from Maths.SE:
(&) :: Int -> Int -> Int
x & y = x*y + 1
这继承了乘法的交换性，但由于偏移 1 而不是结合性的。
Prelude> 0 & (1 & 2)
1
Prelude> (0 & 1) & 2
3
以字符串拼接为例。假设您使用的语言使用 + 进行字符串连接。这是自然关联的，因为分组无关紧要：
("a" + "b") + "c" == "abc"
"a" + ("b" + "c") == "abc"
但操作数顺序绝对重要：
"a" + "b" = "ab"
"b" + "a" = "ba"
结合但不交换：
矩阵乘法是结合的，但不是交换的。
(AB)C = A(BC)
但是：
AB != BA
可交换但不可结合：
两个数之差的绝对值是可交换的，但不是结合的。
|a - b| = |b - a|
但是：
||a - b| - c| != |a - |b - c||
我正在尝试理解幺半群中的关联。
书上说：
Associativity simply says that you can associate the arguments of your operation differently and the result will be the same.
例如：
Prelude> (1 + 9001) + 9001
18003
Prelude> 1 + (9001 + 9001)
18003
关于交换：
This is not as strong a property as an operation that commutes or is commutative. Commutative means you can reorder the arguments and still get the same result. Addition and multiplication are commutative, but (++) for the list type is only associative.
上面的例子是结合律和交换律，但有什么区别呢？ 我看不出区别。
如果幺半群运算是可交换的，我们将有 "a"<>"b" ≡ "b"<>"a"。但很明显，"ab" 和 "ba" 不是同一个字符串。
关联性是一个比较弱的属性，实际上人们通常认为它是任何操作的“obvious/trivial”。因此，让我们看一下 非 关联的操作——事实上，它很容易找到，例如减法:
5 - (3 - 1) = 3
(5 - 3) - 1 = 1
大多数操作既不是关联的也不是交换的。许多操作是关联的但不是可交换的。你很少会找到一个可交换但不结合的操作，尽管再次构造它很容易； an example from Maths.SE:
(&) :: Int -> Int -> Int
x & y = x*y + 1
这继承了乘法的交换性，但由于偏移 1 而不是结合性的。
Prelude> 0 & (1 & 2)
1
Prelude> (0 & 1) & 2
3
以字符串拼接为例。假设您使用的语言使用 + 进行字符串连接。这是自然关联的，因为分组无关紧要：
("a" + "b") + "c" == "abc"
"a" + ("b" + "c") == "abc"
但操作数顺序绝对重要：
"a" + "b" = "ab"
"b" + "a" = "ba"
结合但不交换：
矩阵乘法是结合的，但不是交换的。
(AB)C = A(BC)
但是：
AB != BA
可交换但不可结合：
两个数之差的绝对值是可交换的，但不是结合的。
|a - b| = |b - a|
但是：
||a - b| - c| != |a - |b - c||