计算张量的有效方法

Question

假设c是一个d维向量。我想计算以下三阶张量

其中e_i代表欧氏space的第i个标准基。有没有一种有效的方法来计算这个？我正在使用以下 for 循环和 Kruskal 张量 ktensor 来计算它，使用由桑迪亚国家实验室管理的 tensor toolbox:

x=ktensor({c,c,c});
I=eye(d);

for i=1:d
    x=x+2*c(i)*ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,i)}
end

for i=1:d
    for j=1:d

         x=x- c(i)*c(j)*(ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,j)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,i)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,j)}))


    end
end

Answer 1

这里有一个可能性。

我对第二项进行了优化，因为它将 c 的值沿张量的 "diagonal" 放置。
对于第一项，没有太大的优化空间，因为它是一个密集的乘法，所以bsxfun似乎是合适的。
对于第三项，我坚持 bsxfun，但由于结果有点稀疏，如果矩阵的大小较大，您可能会受益于填充它 "by hand"。

代码如下：

dim = 10;
c = [1:dim]';
e = eye(dim);

x = zeros([dim, dim, dim]);
% initialize with second term
x(1:dim*(dim+1)+1:end) = 2 * c;
% add first term
x = x + bsxfun(@times, bsxfun(@times, c, shiftdim(c, -1)), shiftdim(c, -2));
% add third term
x = x - sum(sum(bsxfun(@times, shiftdim(c*c',-3), ...
   bsxfun(@times, bsxfun(@times, permute(e, [1, 3, 4, 2, 5]), permute(e, [3, 1, 4, 2, 5])), permute(e, [3, 4, 1, 5, 2])) +...
   bsxfun(@times, bsxfun(@times, permute(e, [1, 3, 4, 2, 5]), permute(e, [3, 1, 4, 5, 2])), permute(e, [3, 4, 1, 2, 5])) +...
   bsxfun(@times, bsxfun(@times, permute(e, [1, 3, 4, 5, 2]), permute(e, [3, 1, 4, 2, 5])), permute(e, [3, 4, 1, 2, 5]))), 5), 4);

编辑

第三项的更高效（尤其是内存方面）计算：

ec = bsxfun(@times, e, c);
x  = x - ...
  bsxfun(@times, ec, shiftdim(c, -2)) -...
  bsxfun(@times, c', reshape(ec, [dim, 1, dim])) -....
  bsxfun(@times, c, reshape(ec, [1, dim, dim]));

Answer 2

您可以尝试 Parallel Computing Toolbox that is namely parfor 循环。

x=ktensor({c,c,c});
I=eye(d);

y = zeros(d,d,d, d);
parfor i=1:d
    y(:,:,:, i) = 2*c(i)*ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,i)};
end
x = x + sum(y, 4);

z = zeros(d,d,d, d,d);
parfor i=1:d
    for j=1:d % only one layer of parallelization is allowed
         z(:,:,:, i,j) = c(i)*c(j)*(ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,j)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,i)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,j)}));
    end
end
x = x - sum(sum(z, 5), 4);
x % is your result

它只运行未修改的 ktensor 命令，但在单独的线程中，因此工具箱会并行处理运行代码。

因为每次迭代的独立性属性，这意味着，例如c_{i+1, j+1}不依赖c_{i, j}，这是可能的。

根据您系统的内核（和超线程）数量，可能会有多达#-of-cores-times 的加速。

计算张量的有效方法

Efficient way to compute a tensor

matlab

tensor