Exclusive-Or 是否形成 Bools 的幺半群？

Question

我为异或函数创建了一个运算符，它看起来像这样：

op :: Integer -> Integer -> Maybe Integer
op x y
  | x == 0 && y == 0 = Just 0
  | x == 0 && y == 1 = Just 1
  | x == 1 && y == 0 = Just 1
  | x == 1 && y == 1 = Just 0
  | otherwise = Nothing

我使用了 0 和 1 而不是 True 和 False，但这对结果应该没有影响。我读到它形成了一个幺半群，但我不明白为什么。结合性很明显，不需要证明（我已经自己证明了），但恒等元是什么，为什么？

编辑：这是一个没有数字的：

xor :: Bool -> Bool -> Bool
xor x y | x == True && y == False = True
        | x == False && y == True = True
        | otherwise = False

Answer 1

我在证明中犯了一个愚蠢的错误，因为 amalloy 说身份是假的。这是完整的证明，我希望现在它是正确的。

mempty <> p = p
xor False p = p
-- For p = True:
xor False True = True
True = True
-- For p = False:
xor False False = False
False = False
-- Q.E.D

Exclusive-Or 是否形成 Bools 的幺半群？

Does the Exclusive-Or form a monoid for Bools?

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xor

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