如何使用 python、numpy 和 scipy 积分弧长？

Question

在另一个 thread 上，我看到有人设法使用 mathematica.They 积分弧长写道：

In[1]:= ArcTan[3.05*Tan[5Pi/18]/2.23]
Out[1]= 1.02051
In[2]:= x=3.05 Cos[t];
In[3]:= y=2.23 Sin[t];
In[4]:= NIntegrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],{t,0,1.02051}]
Out[4]= 2.53143

如何使用 numpy 和 scipy 的导入将其转移到 python？特别是，我在他的代码中使用 "NIntegrate" 函数卡在第 4 行。谢谢您的帮助！

此外，如果我已经有了弧长和垂直轴长度，我如何能够反转程序以从已知值中吐出原始参数？谢谢！

Answer 1

据我所知scipy 无法执行符号计算（例如符号微分）。你可能想看看 http://www.sympy.org 的符号计算包。因此，在下面的示例中，我分析地计算导数（Dx(t) 和 Dy(t) 函数）。

>>> from scipy.integrate import quad
>>> import numpy as np
>>> Dx = lambda t: -3.05 * np.sin(t)
>>> Dy = lambda t: 2.23 * np.cos(t)
>>> quad(lambda t: np.sqrt(Dx(t)**2 + Dy(t)**2), 0, 1.02051)
(2.531432761012828, 2.810454936566873e-14)

编辑：问题的第二部分 - 反转问题

根据您知道积分（弧）值的事实，您现在可以求解一个确定弧的参数（半轴、角度等） .) 假设您想求解角度。然后您可以使用 scipy 中的一种非线性求解器来还原方程 quad(theta) - arcval == 0。你可以这样做：

>>> from scipy.integrate import quad
>>> from scipy.optimize import broyden1
>>> import numpy as np
>>> a = 3.05
>>> b = 2.23
>>> Dx = lambda t: -a * np.sin(t)
>>> Dy = lambda t: b * np.cos(t)
>>> arc = lambda theta: quad(lambda t: np.sqrt(Dx(t)**2 + Dy(t)**2), 0, np.arctan((a / b) * np.tan(np.deg2rad(theta))))[0]
>>> invert = lambda arcval: float(broyden1(lambda x: arc(x) - arcval, np.rad2deg(arcval / np.sqrt((a**2 + b**2) / 2.0))))

然后：

>>> arc(50)
2.531419526553662
>>> invert(arc(50))
50.000031008458365

Answer 2

如果您更喜欢纯数值方法，则可以使用以下准系统解决方案。这对我来说效果很好，因为我有两个输入 numpy.ndarrays，x 和 y，没有可用的函数形式。

import numpy as np

def arclength(x, y, a, b):
    """
    Computes the arclength of the given curve
    defined by (x0, y0), (x1, y1) ... (xn, yn)
    over the provided bounds, `a` and `b`.

    Parameters
    ----------
    x: numpy.ndarray
        The array of x values

    y: numpy.ndarray
        The array of y values corresponding to each value of x

    a: int
        The lower limit to integrate from

    b: int
        The upper limit to integrate to

    Returns
    -------
    numpy.float64
        The arclength of the curve

    """
    bounds = (x >= a) & (y <= b)

    return np.trapz(
        np.sqrt(
            1 + np.gradient(y[bounds], x[bounds])
        ) ** 2),
        x[bounds]
    )

注意：我将 return 变量隔开，只是为了使其更易读，更清楚地理解正在发生的操作。

顺便说一句，回想一下曲线的弧长由下式给出：

如何使用 python、numpy 和 scipy 积分弧长？

How to Integrate Arc Lengths using python, numpy, and scipy?

python

numpy

scipy

automatic-ref-counting

ellipse

编辑：问题的第二部分 - 反转问题