查找斜率变化点作为自由参数- Python

Question

假设我有两个数据列表如下：

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14]

也就是说，很明显，仅仅为该数据拟合一条线是行不通的，而是数据中某个点的斜率发生了变化。（很明显，人们可以很容易地从这个数据集中查明变化在哪里，但在我正在处理的数据集中它并不那么清楚所以让我们忽略它。）我猜是关于导数的东西，但这里的重点我想把它当作一个自由参数，我说 "it's this point, +/- this uncertainty, and here is the linear slope before and after this point."

请注意，如果更容易的话，我可以用数组来做到这一点。谢谢！

Answer 1

我不太清楚你想要什么，但你可以这样看进化（导数）：

>>> y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14]
>>> dy=[y[i+1]-y[i] for i in range(len(y)-1)]
>>> dy
[1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2]

然后找到它变化的点（二阶导数）：

>>> dpy=[dy[i+1]-dy[i] for i in range(len(dy)-1)]
>>> dpy
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]

如果你想要这个点的索引：

>>> dpy.index(1)
4

可以为您提供斜率变化前最后一点的值：

>>> change=dpy.index(1)
>>> y[change]
5

在您的 y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14] 中，更改发生在索引 [4] 处（列表索引从 0 开始），此时 y 的值为 5.

Answer 2

这是您的数据图：

您需要找到两个斜率（== 取两个导数）。首先求出每两点之间的斜率（使用numpy）：

import numpy as np 
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10],dtype=np.float)
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14],dtype=np.float)
m = np.diff(y)/np.diff(x)
print (m)
# [ 1.  1.  1.  1.  1.  2.  2.  2.  2.]

很明显，斜率在第六区间（第六点和第七点之间）从 1 变为 2。然后取这个数组的导数，它告诉你斜率什么时候改变：

print (np.diff(m))
[ 0.  0.  0.  0.  1.  0.  0.  0.]

查找非零值的索引：

idx = np.nonzero(np.diff(m))[0]
print (idx)
# 4

由于我们对 x 取了一个导数，并且索引在 Python 中从零开始，idx+2 告诉您斜率在第六个点之前和之后是不同的。

Answer 3

您可以将斜率计算为每对点之间的差值（一阶导数）。然后检查斜率变化的位置（二阶导数）。如果它发生变化，则将索引位置附加到 idx，即坡度发生变化的点集合。

请注意，第一个点没有唯一的斜率。第二对点会给你斜率，但你需要第三对才能测量斜率的变化。

idx = []
prior_slope = float(y[1] - y[0]) / (x[1] - x[0])
for n in range(2, len(x)):  # Start from 3rd pair of points.
    slope = float(y[n] - y[n - 1]) / (x[n] - x[n - 1])
    if slope != prior_slope:
        idx.append(n)
    prior_slope = slope

>>> idx
[6]

当然这可以在 Pandas 或 Numpy 中更有效地完成，但我只是给你一个简单的 Python 2 解决方案。

一个简单的条件列表理解应该也很有效，尽管它更难理解。

idx = [n for n in range(2, len(x)) 
       if float(y[n] - y[n - 1]) / (x[n] - x[n - 1]) 
       != float(y[n - 1] - y[n - 2]) / (x[n - 1] - x[n - 2])]

Answer 4

Knee point 可能是一个潜在的解决方案。

from kneed import KneeLocator
import numpy as np 
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14])
kn = KneeLocator(x, y, curve='convex', direction='increasing') 
# You can use array y to automatically determine 'convex' and 'increasing' if y is well-behaved
idx = (np.abs(x - kn.knee)).argmin()

>>> print(x[idx], y[idx])
6 6

查找斜率变化点作为自由参数- Python

Finding the point of a slope change as a free parameter- Python

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