使用 PolynomialFeatures 和 LinearRegression 拟合更高阶函数

Question

我在一本书中找到了以下代码，它适合二次数据的线性回归：

m = 100
X = 6 * np.random.rand(m, 1) - 3
y = 0.5 * X**2 + X + 2 + np.random.randn(m, 1)
poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
X_poly = poly_features.fit_transform(X)
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_poly, y)

但这怎么可能呢？我从 documentation 知道 PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False) 正在创建一个数组，如下所示：

[[X[0],X[0]**2]
[X[1],X[1]**2]
.....
[X[n],X[n]**2]]

但是：LinearRegression 如何拟合这些数据？表示 LinearRegression 在做什么以及其背后的概念是什么。

非常感谢任何解释！

Answer 1

二次多项式特征将创建一个如下所示的数组：

   [[1, X[0], X[0]**2]
    [1, X[1], X[1]**2]
    .....
    [1, X[n] ,X[n]**2]]

我们称上面的矩阵为X。然后 LinearRegression 正在寻找 3 个数字 a,b,c 以便向量

X* [[a],[b],[c]] - Y

具有最小的均方误差（即上述向量中平方和的平均值）。

请注意，乘积 X* [[a],[b],[c]] 只是矩阵 X 与列向量 [a,b,c].T 的乘积。结果是与 Y.

维度相同的向量

关于您评论中的问题：

这个函数在新的特征集中是线性的：x, x**2。只需将 x**2 视为模型中的附加功能即可。
对于您问题中提到的特定数组，LinearRegression 方法正在寻找使和
最小化的数字a,b,c
(a*1+bX[0]+cX[0]**2-Y[0])**2+(a*1+b X[1]+cX[1]**2-Y[1])**2+..+(a*1+bX[n ]+cX[n]**2-Y[n])**2

所以它会找到一组这样的数字a,b,c。因此，建议的函数 y=a+b*x+c*x**2 不仅仅基于第一行。相反，它是基于所有行的，因为选择的参数 a,b,c 是使上述总和最小的参数，而这个总和涉及所有行的元素。

创建向量 x**2 后，线性回归仅将其视为附加特征。你可以给它起一个新名字v=x**2。那么线性回归的形式是y=a+b*x+c*v，也就是说，它在x和v之间是线性的。该算法不关心您如何创建 v。它只是将 v 视为附加功能。

使用 PolynomialFeatures 和 LinearRegression 拟合更高阶函数

Fitting a higher degree function using PolynomialFeatures and LinearRegression

python

linear-regression

scikit-learn

polynomials