当 x 趋于无穷时，哪个 f(x) 最小化 g(f(x)) 的阶数
Which f(x) minimizes the order of g(f(x)) as x goes to infinity
假设 f(x) 趋于无穷大，因为 x 趋于无穷大且 a,b>0。找到为
产生最低阶数的 f(x)
因为 x 趋于无穷大。
order 我的意思是 Big O and Little o 表示法。
只能粗略的解决：
我的解决方案：我们可以说当 x 趋于无穷时，ln(1+f(x)) 近似等于 ln(f(x))。然后，我必须最小化
的顺序
因为对于任何 c>0，当 y =sqrt(c) 时 y+c/y 被最小化，b+ln f(x)}=sqrt(ax) 是答案。等价地，f(x)=e^(sqrt(ax)-b) 并且 g(x) 的最低阶是 2 sqrt(ax)。
能帮我求个严谨的答案吗？
最小化（我应该说 extremize）另一个函数的函数的严格方法是使用 Euler-Lagrange 关系：
因此：
泰勒展开式：
如果我们只考虑最多 "constant" 项：
这当然是你得到的结果。
接下来，线性项：
我们不能解析地求解这个方程；但是我们可以探索函数 f(x) 中 扰动 的影响（即参数对先前解决方案的微小变化）。我们显然可以忽略 f 的任何线性变化，但我们可以添加一个正的乘法因子 A:
sqrt(ax)和Af显然都是正数，所以RHS是负号。这意味着 ln(A) < 0，因此 A < 1，即新的扰动函数给出了（稍微）更紧的界限。由于 RHS 必须非常小 (1/f)，因此 A 不能比 1 小很多。
更进一步，我们可以对 f 的指数添加另一个扰动 B：
由于 ln(A) 和 RHS 都变小了，因此 LHS 上的 B 项必须更小才能使符号一致。
所以我们可以得出结论 (1) A 非常 接近 1, (2) B 非常小于1，即你得到的结果实际上是一个很好的上界。
以上也导致了 f.
更高次幂的更严格界限的可能性
假设 f(x) 趋于无穷大，因为 x 趋于无穷大且 a,b>0。找到为
产生最低阶数的 f(x)因为 x 趋于无穷大。 order 我的意思是 Big O and Little o 表示法。
只能粗略的解决：
我的解决方案：我们可以说当 x 趋于无穷时，ln(1+f(x)) 近似等于 ln(f(x))。然后，我必须最小化
的顺序因为对于任何 c>0，当 y =sqrt(c) 时 y+c/y 被最小化，b+ln f(x)}=sqrt(ax) 是答案。等价地，f(x)=e^(sqrt(ax)-b) 并且 g(x) 的最低阶是 2 sqrt(ax)。
能帮我求个严谨的答案吗？
最小化（我应该说 extremize）另一个函数的函数的严格方法是使用 Euler-Lagrange 关系：
因此：
泰勒展开式：
如果我们只考虑最多 "constant" 项：
这当然是你得到的结果。
接下来，线性项：
我们不能解析地求解这个方程；但是我们可以探索函数 f(x) 中 扰动 的影响（即参数对先前解决方案的微小变化）。我们显然可以忽略 f 的任何线性变化，但我们可以添加一个正的乘法因子 A:
sqrt(ax)和Af显然都是正数，所以RHS是负号。这意味着 ln(A) < 0，因此 A < 1，即新的扰动函数给出了（稍微）更紧的界限。由于 RHS 必须非常小 (1/f)，因此 A 不能比 1 小很多。
更进一步，我们可以对 f 的指数添加另一个扰动 B：
由于 ln(A) 和 RHS 都变小了，因此 LHS 上的 B 项必须更小才能使符号一致。
所以我们可以得出结论 (1) A 非常 接近 1, (2) B 非常小于1，即你得到的结果实际上是一个很好的上界。
以上也导致了 f.