带斜率的 MATLAB 曲线拟合
MATLAB Curve Fitting with Slopes
背景
我目前正在为我的 MATLAB 工程课程做讲座，偶然发现了一个我想向 class 提出的问题。我做了很多不同的尝试来解决这个问题，但我的图表总是不正确。我将在下面描述这个问题以及我为解决这个问题所采取的所有步骤。
问题
求四次多项式的系数
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
其图形通过点 (0, 1)、(1, 1)、(-1,3) 和
x = -1 处的斜率为 20，x = 1 处的斜率为 9.
目视检查您的答案。
尝试
我首先创建了一个由上述 x 值组成的矩阵，我按如下方式得出：
A = [0^4 0^3 0^2 0 1; 1^4 1^3 1^2 1 1; (-1)^4 (-1)^3 (-1)^2 -1 1];
A = [0 0 0 0 1; 1 1 1 1 1; 1 -1 1 -1 1];
这将创建一个 5 列乘 3 行的矩阵，我可以用它来绘制多项式。
我的问题是我无法获得最后一行的 x 值，因为每一行都是方程组中的一个方程，并且必须有与未知数一样多的方程（ 4：a、b、c、d 未知，但如您所见，e 始终等于 1）。
暂时忽略这个问题，我可以继续创建一个 y 值的垂直矩阵，以便我可以求解方程组。这些 y 值已经给出，所以我所要做的就是输入以下代码：
y = [1 1 3]';
再一次，方程组应该有第四个 y 值，但我无法仅使用 x = -1 和 [=21 处的点的斜率推导出它=].
导出 x 值和 y 值后，我们可以继续使用 backslash operator (/) 求解线性方程组 A*x = y。
p = A\y;
mldivide 是关于 mldivide 函数的更多信息，供任何需要参考的人参考。
从现在开始，下面的代码从这个方程组创建多项式并绘制它，应该保持不变。
u = -1:.01:1;
v = polyval(p, u);
plot(u,v);
在此代码中，u 是从 -1 到 1 的 x 值域，间隔为 0.01。这是我们使用 polyval 函数所必需的，该函数根据我们在 p 处在 u.
区间导出的方程组创建多项式
最后，plot 使用 MATLAB 的 GUI 在区间 u.
上简单地绘制我们导出的多项式
如您所见，我唯一缺少的部分是矩阵 A 中的多一行 x 值和矩阵 y 中的一个 y 值，我需要找到四个未知数 a、b、c 和 d。我相信您必须使用问题中给出的两个斜率来找到每个点。我尝试使用 polyder 函数通过 p 获得矩阵的导数，
q = polyder(p);
但我仍然对如何从那里继续感到困惑。任何帮助将不胜感激。
我会计算多项式的导数：
dP(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
现在，你知道 dP(-1)=20 和 dP(1)=9 所以你有 5 个方程和 5 个未知数：
e = 1
a + b + c + d + e = 1
a - b + c - d + e = 3
-4*a + 3*b - 2*c + d = 20
4*a + 3*b + 2*c + d = 9
因此您可以构建一个 5x5 矩阵并求解系统，就像您对 A\y 所做的那样。
构造这个 5x5 矩阵的代码是：
A = [0 0 0 0 1 ; 1 1 1 1 1 ; 1 -1 1 -1 1 ; -4 3 -2 1 0 ; 4 3 2 1 0];
y = [1 1 3 20 9]';
然后您可以在绘图上查看结果：
p=A\y;
u = -1:.01:1;
v = polyval(p, u);
data_pts = [0, 1; 1, 1;-1, 3]
plot(u,v,data_pts(:,1),data_pts(:,2),'rx')
给出了以下情节：
您可以对导数执行相同的操作并检查它是否经过点 (-1,20) 和 (1,9)。
背景
我目前正在为我的 MATLAB 工程课程做讲座，偶然发现了一个我想向 class 提出的问题。我做了很多不同的尝试来解决这个问题，但我的图表总是不正确。我将在下面描述这个问题以及我为解决这个问题所采取的所有步骤。
问题
求四次多项式的系数
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
其图形通过点 (0, 1)、(1, 1)、(-1,3) 和
x = -1 处的斜率为 20，x = 1 处的斜率为 9.
目视检查您的答案。
尝试
我首先创建了一个由上述 x 值组成的矩阵，我按如下方式得出：
A = [0^4 0^3 0^2 0 1; 1^4 1^3 1^2 1 1; (-1)^4 (-1)^3 (-1)^2 -1 1];
A = [0 0 0 0 1; 1 1 1 1 1; 1 -1 1 -1 1];
这将创建一个 5 列乘 3 行的矩阵，我可以用它来绘制多项式。
我的问题是我无法获得最后一行的 x 值，因为每一行都是方程组中的一个方程，并且必须有与未知数一样多的方程（ 4：a、b、c、d 未知，但如您所见，e 始终等于 1）。
暂时忽略这个问题，我可以继续创建一个 y 值的垂直矩阵，以便我可以求解方程组。这些 y 值已经给出，所以我所要做的就是输入以下代码：
y = [1 1 3]';
再一次，方程组应该有第四个 y 值，但我无法仅使用 x = -1 和 [=21 处的点的斜率推导出它=].
导出 x 值和 y 值后，我们可以继续使用 backslash operator (/) 求解线性方程组 A*x = y。
p = A\y;
mldivide 是关于 mldivide 函数的更多信息，供任何需要参考的人参考。
从现在开始，下面的代码从这个方程组创建多项式并绘制它，应该保持不变。
u = -1:.01:1;
v = polyval(p, u);
plot(u,v);
在此代码中，u 是从 -1 到 1 的 x 值域，间隔为 0.01。这是我们使用 polyval 函数所必需的，该函数根据我们在 p 处在 u.
最后，plot 使用 MATLAB 的 GUI 在区间 u.
如您所见，我唯一缺少的部分是矩阵 A 中的多一行 x 值和矩阵 y 中的一个 y 值，我需要找到四个未知数 a、b、c 和 d。我相信您必须使用问题中给出的两个斜率来找到每个点。我尝试使用 polyder 函数通过 p 获得矩阵的导数，
q = polyder(p);
但我仍然对如何从那里继续感到困惑。任何帮助将不胜感激。
我会计算多项式的导数：
dP(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
现在，你知道 dP(-1)=20 和 dP(1)=9 所以你有 5 个方程和 5 个未知数：
e = 1
a + b + c + d + e = 1
a - b + c - d + e = 3
-4*a + 3*b - 2*c + d = 20
4*a + 3*b + 2*c + d = 9
因此您可以构建一个 5x5 矩阵并求解系统，就像您对 A\y 所做的那样。
构造这个 5x5 矩阵的代码是：
A = [0 0 0 0 1 ; 1 1 1 1 1 ; 1 -1 1 -1 1 ; -4 3 -2 1 0 ; 4 3 2 1 0];
y = [1 1 3 20 9]';
然后您可以在绘图上查看结果：
p=A\y;
u = -1:.01:1;
v = polyval(p, u);
data_pts = [0, 1; 1, 1;-1, 3]
plot(u,v,data_pts(:,1),data_pts(:,2),'rx')
给出了以下情节：
您可以对导数执行相同的操作并检查它是否经过点 (-1,20) 和 (1,9)。