如何从 QR 分解输出中获取 Q？

Question

DGEQRF and SGEQRF 来自 LAPACK return 打包格式的 QR 因式分解的 Q 部分。解包好像需要O(k^3)步（k个低阶产品），好像不是很直接。另外，我不清楚进行 k 顺序乘法的数值稳定性。

LAPACK是否包含解包Q的子程序，如果没有，我应该怎么做？

Answer 1

您正在寻找

DORMQR(SIDE, TRANS, M, N, K, A, LDA, TAU, C, LDC, WORK, LWORK, INFO)

它计算 Q * C，其中 Q = H(1) H(2) . . . H(k) 从 DGEQRF 返回。只需使用 C = I.

有关更多信息，请查看 here。

Answer 2

是的，LAPACK确实提供了从基本反射器（即DGEQRF编辑的return数据部分）检索Q的例程，它被称为DORGQR。来自描述：

*  DORGQR generates an M-by-N real matrix Q with orthonormal columns,
*  which is defined as the first N columns of a product of K elementary
*  reflectors of order M
*
*        Q  =  H(1) H(2) . . . H(k)
*  as returned by DGEQRF.

使用 C-wrapper LAPACKE 从 A 完整计算 Q 和 R 可能看起来像这样（Fortran 改编应该是直截了当的）：

void qr( double* const _Q, double* const _R, double* const _A, const size_t _m, const size_t _n) {
    // Maximal rank is used by Lapacke
    const size_t rank = std::min(_m, _n); 

    // Tmp Array for Lapacke
    const std::unique_ptr<double[]> tau(new double[rank]);

    // Calculate QR factorisations
    LAPACKE_dgeqrf(LAPACK_ROW_MAJOR, (int) _m, (int) _n, _A, (int) _n, tau.get());

    // Copy the upper triangular Matrix R (rank x _n) into position
    for(size_t row =0; row < rank; ++row) {
        memset(_R+row*_n, 0, row*sizeof(double)); // Set starting zeros
        memcpy(_R+row*_n+row, _A+row*_n+row, (_n-row)*sizeof(double)); // Copy upper triangular part from Lapack result.
    }

    // Create orthogonal matrix Q (in tmpA)
    LAPACKE_dorgqr(LAPACK_ROW_MAJOR, (int) _m, (int) rank, (int) rank, _A, (int) _n, tau.get());

    //Copy Q (_m x rank) into position
    if(_m == _n) {
        memcpy(_Q, _A, sizeof(double)*(_m*_n));
    } else {
        for(size_t row =0; row < _m; ++row) {
            memcpy(_Q+row*rank, _A+row*_n, sizeof(double)*(rank));
        }
    }
}

这是我自己的一段代码，我在其中删除了所有检查以提高可读性。对于生产性使用，您需要检查输入是否有效，并且还要注意 LAPACK 调用的 return 值。注意输入A被销毁

如何从 QR 分解输出中获取 Q？

How to get the Q from the QR factorization output?

fortran

matrix

linear-algebra

lapack

qr-decomposition