NumPy eigh() 给出不正确的特征向量

Question

我一直在使用 NumPy 来做一些线性代数，但我遇到了 eigh() 似乎返回不正确的特征向量的问题。 Here 是我正在使用的对称矩阵（481 x 481）。看下面的代码：

import numpy as np

c = np.load('C.npy')
eigenvectors_h = np.linalg.eigh(c)[1]
c.dot(eigenvectors_h[:, 0]) / eigenvectors_h[:, 0]

c 是实数，绝对是对称的，因为 np.allclose(c, c.T) returns True.

我没有得到一个由重复 481 次的特征值组成的数组，而是看到了看起来像随机数的东西：

-1.03913672e+04   1.70145524e-15  -6.30342977e-16  -5.80181781e-15
2.43586988e-15   1.02142854e-13  -1.59100453e-13   6.34768223e-14
1.47793139e-14   5.19832084e-15   1.23786159e-14  -6.89332604e-14
3.35120474e-14  -5.55497774e-14   3.35912194e-14   2.41599711e-14
-8.10853045e-15   3.39728566e-14   1.66605768e-14  -4.62536283e-14
4.78158644e-15   1.05840004e-14   2.49968277e-14   6.37161752e-14
-8.29049452e-15   7.69540224e-13  -1.41737099e-14  -2.04904903e-14
-2.02649833e-14   8.75614182e-15  -6.43718154e-14  -6.71884701e-15
2.89567850e-15  -1.93639427e-14   2.05961830e-15  -2.82825321e-14
-2.99156760e-14  -1.17149803e-14  -1.00413883e-13   2.81365540e-15
-1.47420105e-14  -1.54638301e-14   2.97770540e-14   9.42616109e-14
-2.18819275e-13   6.23156105e-13  -1.14148906e-14   1.97147438e-14
-5.04103330e-14  -1.39415849e-13  -6.78032159e-14  -2.18085326e-14
-1.36511305e-14   3.09529929e-14  -9.42922227e-15  -1.80013713e-14
-3.34989389e-14  -1.31399506e-15   3.86915434e-14   7.43430828e-15
3.00681063e-14   3.15599077e-15   1.77696288e-14  -5.33198194e-15
-3.03304561e-14   1.74254787e-13  -3.31735946e-14   3.02816694e-14
-1.79965325e-14  -6.03794643e-13  -2.70964350e-14   1.13476801e-14
-1.31756179e-14   1.23490868e-14   1.31665400e-14  -4.82723158e-15
-6.80123679e-14   1.01616264e-13  -3.26409876e-14   5.00897081e-15
8.01025834e-14  -5.50605097e-13   3.03059609e-15   5.55524078e-14
1.76830600e-14   5.82590991e-14  -4.07471685e-14  -1.74936332e-14
3.67006376e-14   1.23210295e-14   4.54025070e-14  -1.37452957e-13
5.68932273e-15   3.59057575e-14   7.52501521e-15  -8.21274824e-15
2.86056181e-13   2.12632482e-14   9.50056403e-14   2.80131245e-14
...

但是，它与 eig() 一起工作正常：

eigenvectors = np.linalg.eig(c)[1]
c.dot(eigenvectors[:, 0]) / eigenvectors[:, 0] #[126.56622721] * 481

我想使用 eigh() 因为它看起来更快并且 returns 实数值而不是复数值，但它似乎不起作用。谁能解释这是为什么或我做错了什么？

独立示例

此示例演示了自包含代码中的相同行为（使用基本上为 1 阶的随机矩阵，数字工件除外）。

import numpy as np
u = np.random.uniform(size=(100,))
c = np.outer(u, u)

eigenvectors_h = np.linalg.eigh(c)[1]
print(c.dot(eigenvectors_h[:, 0]) / eigenvectors_h[:, 0])

eigenvectors = np.linalg.eig(c)[1]
print(c.dot(eigenvectors[:, 0]) / eigenvectors[:, 0])

Answer 1

eigh 比 eig 没有任何问题。如果您使用列表末尾的特征向量测试 eig，您将得到类似的 "random" 数字：try

print(c.dot(eigenvectors[:, -10]) / eigenvectors[:, -10])

这是正在发生的事情：

矩阵的大部分特征值与 0 没有区别，它们的大小为 1e-16 或更小。
方法eigh returns 最小特征值（及其特征向量）优先。
方法eig returns 最大特征值（及其特征向量）优先。
您仅测试返回的第一个特征向量。

因此您看到 eig 和 eigh 的行为差异实际上并不存在。

实际上，您的矩阵似乎是低秩 + 数值噪声。因此，较小的特征值可能应该为 0，在这种情况下，特征向量的计算基本上是彩票；有一个巨大的线性子空间几乎被矩阵杀死，来自该子空间的任何东西都可以作为特征向量传递。乘法 c*eigenvector 的结果只是一堆数字噪音。

寓意：不要忘记看全貌。

eigenvalues_h, eigenvectors_h = np.linalg.eigh(c)
print(eigenvalues_h)

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(c)
print(eigenvalues)

NumPy eigh() 给出不正确的特征向量

NumPy eigh() gives incorrect eigenvectors

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