对具有凹域的一组点进行三角剖分

Question

设置

给定凸包内的一组节点，假设域包含一个或多个凹区域：

其中蓝点表示点，黑线表示域。假设这些点被保存为长度为 n 的二维数组 points，其中 n 是点对的数量。

然后让我们对这些点进行三角测量，使用类似于 scipy.spatial:

中的 Delaunay 方法

如您所见，您可能会体验到创建穿过域的三角形。

问题

什么是删除跨越域外的任何三角形的好算法方法？理想情况下但不一定，单纯形边缘仍然保留域形状（即，没有删除三角形的主要间隙）。

由于我的问题似乎继续得到相当数量的 activity，我想跟进我目前正在使用的应用程序。

假设您已经定义了边界，您可以使用 ray casting algorithm 来确定多边形是否在域内。

为此：

取每个多边形的质心为C_i = (x_i,y_i)。
然后，想象一条线 L = [C_i,(+inf,y_i)]：即一条向东跨越域末尾的线。
对于边界 S 中的每个边界段 s_i，检查与 L 的交叉点。如果是，则将 +1 添加到内部计数器 intersection_count；否则，什么都不加。

计算完L和s_i for i=1..N之间的所有交点数后：

if intersection_count % 2 == 0:
    return True # triangle outside convex hull
else:
    return False # triangle inside convex hull

如果您的边界没有明确定义，我发现将形状 'map' 放到布尔数组上并使用 neighbor tracing algorithm 来定义它会很有帮助。请注意，此方法假定一个实体域，您将需要对其中包含 'holes' 的域使用更复杂的算法。

Answer 1

使用 this algorithm.

计算三角形质心并检查它是否在多边形内

Answer 2

您可以尝试 constrained delaunay 算法，例如使用 sloan 算法或 cgal 库。

[1]

Answer 3

其中一种经典 DT 算法首先生成一个边界三角形，然后添加所有按 x 排序的新三角形，然后剪掉所有顶点在超三角形中的三角形。

至少从提供的图像中，我们可以得出修剪掉一些所有顶点都在凹包上的三角形的启发式方法。没有证明，当顶点按照定义凹包的相同顺序排序时，要修剪的三角形的面积为负。

这可能还需要插入凹包，然后将其修剪掉。

Answer 4

由于我的问题似乎继续得到相当数量的 activity，我想跟进我当前使用的应用程序。

假设您已经定义了边界，您可以使用 ray casting algorithm 来确定多边形是否在域内。

为此：

取每个多边形的质心为C_i = (x_i,y_i)。
然后，想象一条线 L = [C_i,(+inf,y_i)]：也就是说，一条线向东跨越您域的末端。
对于边界 S 中的每个边界段 s_i，检查与 L 的交叉点。如果是，则将 +1 添加到内部计数器 intersection_count；否则，什么都不加。

计算完L和s_i for i=1..N之间的所有交点数后：

if intersection_count % 2 == 0:
    return True # triangle outside convex hull
else:
    return False # triangle inside convex hull

如果您的边界没有明确定义，我发现将形状 'map' 放到布尔数组上并使用 neighbor tracing algorithm 来定义它会很有帮助。请注意，此方法假定一个实体域，您将需要对其中包含 'holes' 的域使用更复杂的算法。

Answer 5

这里有一些 Python 代码可以满足您的需求。

首先，构建 alpha 形状（参见）：

def alpha_shape(points, alpha, only_outer=True):
    """
    Compute the alpha shape (concave hull) of a set of points.
    :param points: np.array of shape (n,2) points.
    :param alpha: alpha value.
    :param only_outer: boolean value to specify if we keep only the outer border or also inner edges.
    :return: set of (i,j) pairs representing edges of the alpha-shape. (i,j) are the indices in the points array.
    """
    assert points.shape[0] > 3, "Need at least four points"

    def add_edge(edges, i, j):
        """
        Add a line between the i-th and j-th points,
        if not in the list already
        """
        if (i, j) in edges or (j, i) in edges:
            # already added
            assert (j, i) in edges, "Can't go twice over same directed edge right?"
            if only_outer:
                # if both neighboring triangles are in shape, it's not a boundary edge
                edges.remove((j, i))
            return
        edges.add((i, j))

    tri = Delaunay(points)
    edges = set()
    # Loop over triangles:
    # ia, ib, ic = indices of corner points of the triangle
    for ia, ib, ic in tri.vertices:
        pa = points[ia]
        pb = points[ib]
        pc = points[ic]
        # Computing radius of triangle circumcircle
        # www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-circumcircle
        a = np.sqrt((pa[0] - pb[0]) ** 2 + (pa[1] - pb[1]) ** 2)
        b = np.sqrt((pb[0] - pc[0]) ** 2 + (pb[1] - pc[1]) ** 2)
        c = np.sqrt((pc[0] - pa[0]) ** 2 + (pc[1] - pa[1]) ** 2)
        s = (a + b + c) / 2.0
        area = np.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
        circum_r = a * b * c / (4.0 * area)
        if circum_r < alpha:
            add_edge(edges, ia, ib)
            add_edge(edges, ib, ic)
            add_edge(edges, ic, ia)
    return edges

要计算 alpha 形状外边界的边缘，请使用以下示例调用：

edges = alpha_shape(points, alpha=alpha_value, only_outer=True)

现在，points的alpha形状的外边界edges计算完成后，下面的函数将判断一个点(x,y)是否在外边界内边界。

def is_inside(x, y, points, edges, eps=1.0e-10):
    intersection_counter = 0
    for i, j in edges:
        assert abs((points[i,1]-y)*(points[j,1]-y)) > eps, 'Need to handle these end cases separately'
        y_in_edge_domain = ((points[i,1]-y)*(points[j,1]-y) < 0)
        if y_in_edge_domain:
            upper_ind, lower_ind = (i,j) if (points[i,1]-y) > 0 else (j,i)
            upper_x = points[upper_ind, 0] 
            upper_y = points[upper_ind, 1]
            lower_x = points[lower_ind, 0] 
            lower_y = points[lower_ind, 1]

            # is_left_turn predicate is evaluated with: sign(cross_product(upper-lower, p-lower))
            cross_prod = (upper_x - lower_x)*(y-lower_y) - (upper_y - lower_y)*(x-lower_x)
            assert abs(cross_prod) > eps, 'Need to handle these end cases separately'
            point_is_left_of_segment = (cross_prod > 0.0)
            if point_is_left_of_segment:
                intersection_counter = intersection_counter + 1
    return (intersection_counter % 2) != 0

在上图所示的输入中（取自我之前的）调用 is_inside(1.5, 0.0, points, edges) 将 return True，而 is_inside(1.5, 3.0, points, edges) 将return False.

请注意，上面的 is_inside 函数不处理退化情况。我添加了两个断言来检测此类情况（您可以定义适合您的应用程序的任何 epsilon 值）。在许多应用程序中，这就足够了，但如果没有，并且您遇到了这些最终情况，则需要单独处理它们。例如，请参阅 here 关于实施几何算法时的稳健性和精度问题。

Answer 6

一种简单而优雅的方法是遍历三角形并检查它们是否在我们的 domain 范围内。 shapely 包可以为您解决问题。

有关此的更多信息，请查看以下内容 post：https://gis.stackexchange.com/a/352442 请注意，即使对于 MultiPoin 对象，也实现了 shapely 中的三角剖分。

我用过，性能惊人，代码只有五行。

对具有凹域的一组点进行三角剖分

Triangulate a set of points with a concave domain

algorithm

delaunay

triangulation

convex-hull

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问题