Maxima CAS：如何用导数形式代替自变量

Question

我想在 Maxima 内更改微分方程中的变量，例如：

(%i1) diff(y(x),x);
                                   d
(%o1)                              -- (y(x))
                                   dx
(%i2) subst([x=a*z],%);
                                  d
(%o2)                            ---- (y(a z))
                                 da z

但是我不知道如何进行并得到 diff(y(a*z),z)/a。 Maxima手册mentions the question，但引用了at命令，其中没有处理这个话题。

Answer 1

在 maxima 中有几种方法可以解决这个问题，让我们使用 pdiff。首先我们解决最大值

中的两个颂歌

(%i1) eq:'diff(y,x) = -y;
                                   dy
(%o1)                              -- = - y
                                   dx
(%i2) ode2(eq, y, x);
                                          - x
(%o2)                            y = %c %e
(%i3) sol: ic1(%, x= 1, y= 8);
                                         1 - x
(%o3)                            y = 8 %e

maxima 对像这样的复杂 ode 没有问题：

(%i4) eqcv : 'diff(y,x) = (x*y) / (3*x^2 - y^4);
                                dy      x y
(%o4)                           -- = ---------
                                dx      2    4
                                     3 x  - y
(%i5) ode2(eqcv, y, x);
                                   4    2
                                  y  - x
(%o5)                           - ------- = %c
                                      6
                                   2 y
(%i6) sol: ic1(%, x= 2, y= 1);
                                    4    2
                                   y  - x    3
(%o6)                            - ------- = -
                                       6     2
                                    2 y

但是让我们使用 pdiff

在这个等式上使用变量改变

y = z^a

(%i1) load(pdiff)$

(%i5) eqcv : diff(y(x),x) = (x*y(x)) / (3*x^2 - y(x)^4);

                                         x y(x)
(%o5)                       y   (x) = ------------
                             (1)         2    4
                                      3 x  - y (x)

(%i6) eqcv, y(x) := z(x)^a;

                                                 a
                           a - 1              x z (x)
(%o6)                a z(x)      z   (x) = --------------
                                  (1)         2       4 a
                                           3 x  - z(x)

然后我们可以简化：

(%i7) % / z(x)^(a -1);
                                          x z(x)
(%o7)                     a z   (x) = --------------
                             (1)         2       4 a
                                      3 x  - z(x)
(%i8) % / a;
                                         x z(x)
(%o8)                    z   (x) = ------------------
                          (1)            2       4 a
                                   a (3 x  - z(x)   )

现在我们可以应用 a = 1/2

(%i50) %, a = 1/2;
                                        2 x z(x)
(%o50)                      z   (x) = ------------
                             (1)         2    2
                                      3 x  - z (x)

开始求解：

(%i51) eq : %;
                                        2 x z(x)
(%o51)                      z   (x) = ------------
                             (1)         2    2
                                      3 x  - z (x)
(%i52) eq;
                                        2 x z(x)
(%o52)                      z   (x) = ------------
                             (1)         2    2
                                      3 x  - z (x)


(%i56) eq : convert_to_diff(eq);
                           d             2 x z(x)
(%o56)                     -- (z(x)) = ------------
                           dx             2    2
                                       3 x  - z (x)

(%i57) depends(z,x);
(%o57)                              [z(x)]

(%i58) eq : subst(z,z(x),eq);
                                dz     2 x z
(%o58)                          -- = ---------
                                dx      2    2
                                     3 x  - z

(%i59) ode2(eq,z,x);

                                   2    2
                                  z  - x
(%o59)                          - ------- = %c
                                     3
                                    z

你也可以将其应用于偏微分方程 example from a mailing list:

I am dealing with the following partial differential equation for the function T(r,t):

diff( T, t ) - T^2 / r^2 * diff( ( r^2 * T^(sigma) * diff(T, r) + q / T ), r ) = 0

I now want to introduce a new variable

eta = r / t^(1/3)

and a new function

Psi(eta) = t^(1/3) * T^(1+sigma)

and I would like Maxima to transform the partial differential equation for T(r,t) stated herebove into a differential equation for Psi(eta).

解决方案：

(%i1) load(pdiff)$
(%i2) de : diff(f(x,y),x,2) + diff(f(x,y),y,2)$
(%i3) de, f(x,y) := g(x/y);
(%o3) g[(2)](x/y)/y^2+(2*x*g[(1)](x/y))/y^3+(x^2*g[(2)](x/y))/y^4
(%i4) y^2 * %;
(%o4) (g[(2)](x/y)/y^2+(2*x*g[(1)](x/y))/y^3+(x^2*g[(2)](x/y))/y^4)*y^2
(%i5) ratsubst(w,x/y,%);
(%o5) (w^2+1)*g[(2)](w)+2*w*g[(1)](w)
(%i6) nde : convert_to_diff(%);
(%o6) 2*w*('diff(g(w),w,1))+(w^2+1)*('diff(g(w),w,2))
(%i7) depends(g,w)$
(%i8) nde : subst(g,g(w),nde);
(%o8) ('diff(g,w,2))*(w^2+1)+2*('diff(g,w,1))*w
(%i9) ode2(nde,g,w);
(%o9) g=%k1*atan(w)+%k2

所以在你的情况下：

(%i11) load(pdiff)$

(%i12) eq : diff(y(x),x);
(%o12)                              y   (x)
                                     (1)
(%i13) eq, y(x) := t(a*x);
(%o13)                            a t   (a x)
                                     (1)

Maxima CAS：如何用导数形式代替自变量

Maxima CAS: how to substitute for the independent variable in derivative forms

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