在 Coq 中证明 Martin-Lof 等式与路径归纳之间的同构
Proving isomorphism between Martin-Lof's equality and Path Induction in Coq
我正在研究 Coq 并试图证明 Martin-Lof 等式与路径归纳等式之间的同构。
我把这两个等式定义如下。
Module MartinLof.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (C : forall x y : A, eq A x y -> Prop),
(forall x : A, C x x (refl A x)) ->
forall a b : A, forall p : eq A a b, C a b p.
End MartinLof.
Module PathInduction.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, eq A x a -> Prop),
P x (refl A x) -> forall y : A, forall p : eq A x y, P y p.
End PathInduction.
并且我把同构涉及的两个函数定义如下
Definition f {A} : forall x y: A, forall m: MartinLof.eq A x y, PathInduction.eq A x y.
Proof.
apply: (MartinLof.el A (fun a b p => PathInduction.eq A a b) _ x y m).
move=> x0.
exact: PathInduction.refl A x0.
Defined.
Definition g {A} : forall x y: A, forall p: PathInduction.eq A x y, MartinLof.eq A x y.
Proof.
apply: (PathInduction.el A x (fun a p => MartinLof.eq A x a) _ y p).
exact: MartinLof.refl A x.
Defined.
现在我正在尝试定义以下证明项，但我无法从最初的陈述中移开，因为我实际上不知道应用什么策略。
Definition pf1 {A}: forall x y: A, forall m: MartinLof.eq A x y,
eq m (g x y (f x y m)).
Definition pf2 {A} : forall x y: A, forall p: PathInduction.eq A x y,
eq p (f x y (g x y p)).
我通过我可以简化表达式
(g x y (f x y m))
但我不知道该怎么做。有谁知道我该如何继续这个证明？
提前致谢。
问题是您对身份类型的定义不完整，因为它没有指定 el 如何与 refl 交互。这是一个完整的解决方案。
From mathcomp Require Import ssreflect.
Module MartinLof.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (C : forall x y : A, eq A x y -> Prop),
(forall x : A, C x x (refl A x)) ->
forall a b : A, forall p : eq A a b, C a b p.
Axiom el_refl : forall (A : Type) (C : forall x y : A, eq A x y -> Prop)
(CR : forall x : A, C x x (refl A x)),
forall x : A, el A C CR x x (refl A x) = CR x.
End MartinLof.
Module PathInduction.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, eq A x a -> Prop),
P x (refl A x) -> forall y : A, forall p : eq A x y, P y p.
Axiom el_refl : forall (A : Type) (x : A) (P : forall y : A, eq A x y -> Prop)
(PR : P x (refl A x)),
el A x P PR x (refl A x) = PR.
End PathInduction.
Definition f {A} (x y: A) (m: MartinLof.eq A x y) : PathInduction.eq A x y.
Proof.
apply: (MartinLof.el A (fun a b p => PathInduction.eq A a b) _ x y m).
move=> x0.
exact: PathInduction.refl A x0.
Defined.
Definition g {A} (x y: A) (p: PathInduction.eq A x y) : MartinLof.eq A x y.
Proof.
apply: (PathInduction.el A x (fun a p => MartinLof.eq A x a) _ y p).
exact: MartinLof.refl A x.
Defined.
Definition pf1 {A} (x y: A) (m: MartinLof.eq A x y) : eq m (g x y (f x y m)).
Proof.
apply: (MartinLof.el A (fun x y p => p = g x y (f x y p))) => x0.
by rewrite /f MartinLof.el_refl /g PathInduction.el_refl.
Qed.
Definition pf2 {A} (x y: A) (m: PathInduction.eq A x y) : eq m (f x y (g x y m)).
Proof.
apply: (PathInduction.el A x (fun y p => p = f x y (g x y p))).
by rewrite /f /g PathInduction.el_refl MartinLof.el_refl.
Qed.
或者，您可以 定义 两种身份类型作为 Coq 归纳类型，这将为您提供相同的原则，而无需声明单独的公理； Coq 的计算行为已经产生了您需要的方程式。我使用了模式匹配语法，但使用标准组合符 eq1_rect 和 eq2_rect.
也可以进行类似的定义
Inductive eq1 (A : Type) (x : A) : A -> Type :=
| eq1_refl : eq1 A x x.
Inductive eq2 (A : Type) : A -> A -> Type :=
| eq2_refl x : eq2 A x x.
Definition f {A} {x y : A} (p : eq1 A x y) : eq2 A x y :=
match p with eq1_refl _ _ => eq2_refl A x end.
Definition g {A} {x y : A} (p : eq2 A x y) : eq1 A x y :=
match p with eq2_refl _ z => eq1_refl A z end.
Definition fg {A} (x y : A) (p : eq2 A x y) : f (g p) = p :=
match p with eq2_refl _ _ => eq_refl end.
Definition gf {A} (x y : A) (p : eq1 A x y) : g (f p) = p :=
match p with eq1_refl _ _ => eq_refl end.
虽然不是很清楚，eq1对应你的PathInduction.eq，eq2对应你的MartinLof.eq。您可以通过要求 Coq 打印其递归原则的类型来检查这一点：
Check eq1_rect.
Check eq2_rect.
你可能注意到我在Type而不是Prop中定义了这两个。我这样做只是为了使 Coq 生成的递归原则更接近您的递归原则；默认情况下，Coq 对 Prop 中定义的事物使用更简单的递归原则（尽管可以使用一些命令更改该行为）。
我正在研究 Coq 并试图证明 Martin-Lof 等式与路径归纳等式之间的同构。
我把这两个等式定义如下。
Module MartinLof.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (C : forall x y : A, eq A x y -> Prop),
(forall x : A, C x x (refl A x)) ->
forall a b : A, forall p : eq A a b, C a b p.
End MartinLof.
Module PathInduction.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, eq A x a -> Prop),
P x (refl A x) -> forall y : A, forall p : eq A x y, P y p.
End PathInduction.
并且我把同构涉及的两个函数定义如下
Definition f {A} : forall x y: A, forall m: MartinLof.eq A x y, PathInduction.eq A x y.
Proof.
apply: (MartinLof.el A (fun a b p => PathInduction.eq A a b) _ x y m).
move=> x0.
exact: PathInduction.refl A x0.
Defined.
Definition g {A} : forall x y: A, forall p: PathInduction.eq A x y, MartinLof.eq A x y.
Proof.
apply: (PathInduction.el A x (fun a p => MartinLof.eq A x a) _ y p).
exact: MartinLof.refl A x.
Defined.
现在我正在尝试定义以下证明项，但我无法从最初的陈述中移开，因为我实际上不知道应用什么策略。
Definition pf1 {A}: forall x y: A, forall m: MartinLof.eq A x y,
eq m (g x y (f x y m)).
Definition pf2 {A} : forall x y: A, forall p: PathInduction.eq A x y,
eq p (f x y (g x y p)).
我通过我可以简化表达式
(g x y (f x y m))
但我不知道该怎么做。有谁知道我该如何继续这个证明？
提前致谢。
问题是您对身份类型的定义不完整，因为它没有指定 el 如何与 refl 交互。这是一个完整的解决方案。
From mathcomp Require Import ssreflect.
Module MartinLof.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (C : forall x y : A, eq A x y -> Prop),
(forall x : A, C x x (refl A x)) ->
forall a b : A, forall p : eq A a b, C a b p.
Axiom el_refl : forall (A : Type) (C : forall x y : A, eq A x y -> Prop)
(CR : forall x : A, C x x (refl A x)),
forall x : A, el A C CR x x (refl A x) = CR x.
End MartinLof.
Module PathInduction.
Axiom eq : forall A, A -> A -> Prop.
Axiom refl : forall A, forall x : A, eq A x x.
Axiom el : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, eq A x a -> Prop),
P x (refl A x) -> forall y : A, forall p : eq A x y, P y p.
Axiom el_refl : forall (A : Type) (x : A) (P : forall y : A, eq A x y -> Prop)
(PR : P x (refl A x)),
el A x P PR x (refl A x) = PR.
End PathInduction.
Definition f {A} (x y: A) (m: MartinLof.eq A x y) : PathInduction.eq A x y.
Proof.
apply: (MartinLof.el A (fun a b p => PathInduction.eq A a b) _ x y m).
move=> x0.
exact: PathInduction.refl A x0.
Defined.
Definition g {A} (x y: A) (p: PathInduction.eq A x y) : MartinLof.eq A x y.
Proof.
apply: (PathInduction.el A x (fun a p => MartinLof.eq A x a) _ y p).
exact: MartinLof.refl A x.
Defined.
Definition pf1 {A} (x y: A) (m: MartinLof.eq A x y) : eq m (g x y (f x y m)).
Proof.
apply: (MartinLof.el A (fun x y p => p = g x y (f x y p))) => x0.
by rewrite /f MartinLof.el_refl /g PathInduction.el_refl.
Qed.
Definition pf2 {A} (x y: A) (m: PathInduction.eq A x y) : eq m (f x y (g x y m)).
Proof.
apply: (PathInduction.el A x (fun y p => p = f x y (g x y p))).
by rewrite /f /g PathInduction.el_refl MartinLof.el_refl.
Qed.
或者，您可以 定义 两种身份类型作为 Coq 归纳类型，这将为您提供相同的原则，而无需声明单独的公理； Coq 的计算行为已经产生了您需要的方程式。我使用了模式匹配语法，但使用标准组合符 eq1_rect 和 eq2_rect.
Inductive eq1 (A : Type) (x : A) : A -> Type :=
| eq1_refl : eq1 A x x.
Inductive eq2 (A : Type) : A -> A -> Type :=
| eq2_refl x : eq2 A x x.
Definition f {A} {x y : A} (p : eq1 A x y) : eq2 A x y :=
match p with eq1_refl _ _ => eq2_refl A x end.
Definition g {A} {x y : A} (p : eq2 A x y) : eq1 A x y :=
match p with eq2_refl _ z => eq1_refl A z end.
Definition fg {A} (x y : A) (p : eq2 A x y) : f (g p) = p :=
match p with eq2_refl _ _ => eq_refl end.
Definition gf {A} (x y : A) (p : eq1 A x y) : g (f p) = p :=
match p with eq1_refl _ _ => eq_refl end.
虽然不是很清楚，eq1对应你的PathInduction.eq，eq2对应你的MartinLof.eq。您可以通过要求 Coq 打印其递归原则的类型来检查这一点：
Check eq1_rect.
Check eq2_rect.
你可能注意到我在Type而不是Prop中定义了这两个。我这样做只是为了使 Coq 生成的递归原则更接近您的递归原则；默认情况下，Coq 对 Prop 中定义的事物使用更简单的递归原则（尽管可以使用一些命令更改该行为）。