从集合包含到精益中的集合平等

Question

给出集合包含的证明及其逆，我希望能够证明两个集合相等。

例如，我知道如何证明 following statement, and its converse:

open set

universe u
variable elem_type : Type u
variable A : set elem_type
variable B : set elem_type

def set_deMorgan_incl : A ∩ B ⊆ set.compl ((set.compl A) ∪ (set.compl B)) :=
    sorry

鉴于这两个包含证明，我如何证明集合相等性，即

def set_deMorgan_eq : A ∩ B = set.compl ((set.compl A) ∪ (set.compl B)) :=
    sorry

Answer 1

你会想要使用子集关系的反对称性，如证明in the stdlib package:

def set_deMorgan_eq : A ∩ B = set.compl ((set.compl A) ∪ (set.compl B)) :=
subset.antisymm (set_deMorgan_incl _ _ _) (set_deMorgan_incl_conv _ _ _)

正如您在 subset.antisymm 的证明中看到的那样，它结合了函数和命题的外延性。

从集合包含到精益中的集合平等

From set inclusion to set equality in lean

dependent-type

theorem-proving

formal-verification

lean