计算特定旋转的特定曲线，c#

Question

我正在尝试为我正在使用特定旋转的特定曲线工作的游戏编写代码。我不是一个伟大的数学家......根本......试图寻找解决方案几个小时，但我恐怕找不到任何解决方案。

那么，先上一张小图来说明一下：

这是一个八分之一的圆，半径为9，起点是(0,0)

收盘价现在大约在 6.364，-2.636。但我需要同样的曲线，在末端有 45° 方向，但恰好在 6.0,-3.0 处结束。

你们谁能告诉我怎么做吗？我需要能够精确计算这条曲线上的任何点及其确切长度。我想使用某种椭圆数学可能是一种解决方案？我承认我的数学 class 现在真的很厉害，现在有了很好的线索...

感谢任何可能的帮助

Answer 1

我想我找到了满足您要求的二次曲线：

f(x) = -1/12 x^2 + 9

将以下内容复制到https://www.desmos.com/calculator中查看：

-\frac{1}{12}x^2+9

f'(x) 将为 -1/6x，因此当 x=6 时，导数将为 -1，对应于 -45° 倾角。可能有无限的曲线可以满足您的要求，但如果我的微积分不太生锈，这就是其中之一。

我试图将焦点从 y=6 here and starting at y=9 here 开始的椭圆拟合到您的点，但斜率看起来不像 45°。同样从任意高度k开始，here好像不行。

Answer 2

我认为您没有完全理解我在评论中提出的关于 "inclination" 角度的问题。所以我将给出一个 general 案例解决方案，其中你有一个明确的 切线向量 作为曲线的末端。（您可以使用倾斜角来计算它；如果我们阐明您的意思，那么我很乐意在必要时使用公式进行编辑以计算切线向量）

让我们画一张图来说明设置的外观：

（并非 100% 准确）

A 和 B 是您的固定点。 T是单位切向量。 r和C是我们需要计算的圆弧的半径和圆心。

角度 θ 由 BA 和 T 之间的角度减去 π/2 弧度（90 度）得出。我们可以使用点积来计算它：

从 AB 的中心到 C 的（有符号）距离由下式给出：

请注意，右侧的情况为负，左侧为正。半径由下式给出：

（您可以通过替换和使用余弦加法规则来简化，但我更喜欢用图中的变量来表示）。要获得点 C，我们需要 AB 的垂直向量（称之为 n）：

既然我们有了圆弧的半径和中心，我们还需要确定哪个我们移动的方向，即从 A 到 B。这是一个简单的测试，使用叉积:

如果这个是负数，那么T就是图中这样，我们需要顺时针移动，反之亦然。弧长l，沿弧移动x距离angular位移γ：

快到了！仅需一步 - 我们需要计算出如何将点 A 围绕点 C 旋转角度 γ，以获得我们想要的点（称之为 D） :

（改编自此Wikipedia page）

现在看一些代码，以防上面的内容令人困惑（可能是！）：

public Vector2 getPointOnArc(Vector2 A, Vector2 B, Vector2 T, double x)
{
    // calculate preliminaries
    Vector2 BA = B - A;
    double d = BA.Length();
    double theta = Math.Acos(Vector2.DotProduct(BA, T) / d) - Math.PI * 0.5;

    // calculate radius
    double r = d / (2.0 * Math.Cos(theta));

    // calculate center 
    Vector2 n = new Vector2(BA.y, -BA.x);
    Vector2 C = 0.5 * (A + B + n * Math.Tan(theta));

    // calculate displacement angle from point A
    double l = (Math.PI - 2.0 * theta) * r;
    double gamma = (2.0 * Math.PI * x) / l;

    // sign change as discussed
    double cross = T.x * BA.y - T.y * BA.x;
    if (cross < 0.0) gamma = -gamma;

    // finally return the point we want
    Vector2 disp = A - C;
    double c_g = Math.Cos(gamma), s_g = Math.Sin(gamma);
    return new Vector2(disp.X * c_g + disp.Y * s_g + C.X,
                       disp.Y * c_g - disp.X * s_g + C.Y);
}

计算特定旋转的特定曲线，c#

Calculate a specific curve with specific rotation, c#

c#

math

curve