从梯度重建曲线

Question

假设我有一条曲线，然后我使用 np.gradient 通过有限差分估计它的梯度。给定初始点 x[0] 和梯度向量，如何重建原始曲线？从数学上讲，我认为给定这个方程组是可能的，但我不确定如何以编程方式进行。

这是我的问题的一个简单示例，其中我有 sin(x) 并计算数值差，它与 cos(x) 匹配。

test = np.vectorize(np.sin)(x)
numerical_grad = np.gradient(test, 30./100)
analytical_grad = np.vectorize(np.cos)(x)

## Plot data.
ax.plot(test, label='data', marker='o')
ax.plot(numerical_grad, label='gradient')
ax.plot(analytical_grad, label='proof', alpha=0.5)
ax.legend();

Answer 1

您可以使用积分恢复初始曲线。

举个例子：如果你有用于一维移动的位置函数，你可以获得作为导数（梯度）的速度函数

 v(t) = s(t)' = ds / dt

并且有了速度，您可以获得位置（并非所有函数都可以分析积分 - 在这种情况下使用数值积分）并添加一些未知常数（移位） - 并且您可以使用初始位置恢复精确值

s(T) = Integral[from 0 to T](v(t)dt) + s(0)

Answer 2

我找到了使用 numpy 的 trapz 函数（梯形规则积分）的方法。

根据我在问题中提供的代码，重现输入数组 test，我们这样做：

x = np.linspace(1, 30, 100)
integral = list()
for t in range(len(x)):
    integral.append(test[0] + np.trapz(numerical_grad[:t+1], x[:t+1]))

积分数组包含数值积分的结果。

从梯度重建曲线

Reconstructing curve from gradient

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