在 x86（使用 SSE2）和 ARM（使用 vfpv4 NEON）上尾数为 11 位的 atan2 近似值

Question

我正在尝试实现尾数精度为 11 位的快速 atan2(float)。 atan2 实现将用于图像处理。所以最好用 SIMD 指令实现（The impl targeting x86(with SSE2) & ARM(with vpfv4 NEON)）。

现在，我使用切比雪夫多项式逼近(https://jp.mathworks.com/help/fixedpoint/examples/calculate-fixed-point-arctangent.html)。

我愿意手动实现矢量化代码。我将使用 SSE2（或更高版本）和 NEON 包装器库。我计划或尝试了这些实施方案

矢量化多项式逼近
- 切比雪夫多项式（现已实现）
标量查找table（+线性插值）
矢量化查找table（这可能吗？我对 NEON 不熟悉，所以我不知道 NEON 中的一些指令，例如 VGATHER）
矢量化 CORDIC 方法（这可能会很慢，因为它需要 12 次以上的旋转迭代才能获得 11 位精度）

其他好主意？

Answer 1

您要检查的第一件事是您的编译器在应用于 float 数组时是否能够向量化 atan2f (y,x)。这通常至少需要一个高优化级别，例如 -O3 并可能指定一个宽松的 "fast math" 模式，其中 errno 处理、非正规化和特殊输入（例如无穷大和 NaN）在很大程度上被忽略。使用这种方法，准确性可能远远超过要求，但在性能方面可能很难击败经过仔细调整的库实现。

接下来要尝试的是编写一个足够准确的简单标量实现，并让编译器对其进行矢量化。通常这意味着除了可以通过 if 转换转换为无分支代码的非常简单的分支之外，避免任何分支。此类代码的一个示例是下面显示的 fast_atan2f()。使用 Intel 编译器，作为 icl /O3 /fp:precise /Qvec_report=2 my_atan2f.c 调用，成功矢量化：my_atan2f.c(67): (col. 9) remark: LOOP WAS VECTORIZED. 通过反汇编仔细检查生成的代码表明 fast_atan2f() 已使用 [=20] 的 SSE 指令进行内联和矢量化=] 风味。

如果一切都失败了，您可以手动将 fast_atan2() 的代码翻译成特定于平台的 SIMD 内在函数，这应该不难做到。我没有足够的经验来快速完成它。

我在这段代码中使用了一个非常简单的算法，这是一个简单的参数约简以在 [0,1] 中产生一个约简参数，然后是一个极小极大多项式近似，最后一步将结果映射回完整的圆圈。核心近似是使用 Remez 算法生成的，并使用二阶 Horner 方案进行评估。如果可用，可以使用融合乘加 (FMA)。为了性能起见，不处理涉及无穷大、NaN 或 0/0 的特殊情况。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

/* maximum relative error about 3.6e-5 */
float fast_atan2f (float y, float x)
{
    float a, r, s, t, c, q, ax, ay, mx, mn;
    ax = fabsf (x);
    ay = fabsf (y);
    mx = fmaxf (ay, ax);
    mn = fminf (ay, ax);
    a = mn / mx;
    /* Minimax polynomial approximation to atan(a) on [0,1] */
    s = a * a;
    c = s * a;
    q = s * s;
    r =  0.024840285f * q + 0.18681418f;
    t = -0.094097948f * q - 0.33213072f;
    r = r * s + t;
    r = r * c + a;
    /* Map to full circle */
    if (ay > ax) r = 1.57079637f - r;
    if (x <   0) r = 3.14159274f - r;
    if (y <   0) r = -r;
    return r;
}

/* Fixes via: Greg Rose, KISS: A Bit Too Simple. http://eprint.iacr.org/2011/007 */
static unsigned int z=362436069,w=521288629,jsr=362436069,jcong=123456789;
#define znew (z=36969*(z&0xffff)+(z>>16))
#define wnew (w=18000*(w&0xffff)+(w>>16))
#define MWC  ((znew<<16)+wnew)
#define SHR3 (jsr^=(jsr<<13),jsr^=(jsr>>17),jsr^=(jsr<<5)) /* 2^32-1 */
#define CONG (jcong=69069*jcong+13579)                     /* 2^32 */
#define KISS ((MWC^CONG)+SHR3)

float rand_float(void)
{
    volatile union {
        float f;
        unsigned int i;
    } cvt;
    do {
        cvt.i = KISS;
    } while (isnan(cvt.f) || isinf (cvt.f) || (fabsf (cvt.f) < powf (2.0f, -126)));
    return cvt.f;
}

int main (void)
{
    const int N = 10000;
    const int M = 100000;
    float ref, relerr, maxrelerr = 0.0f;
    float arga[N], argb[N], res[N];
    int i, j;

    printf ("testing atan2() with %d test vectors\n", N*M);

    for (j = 0; j < M; j++) {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            arga[i] = rand_float();
            argb[i] = rand_float();
        }

        // This loop should be vectorized
        for (i = 0; i < N; i++) {
            res[i] = fast_atan2f (argb[i], arga[i]);
        }

        for (i = 0; i < N; i++) {
            ref = (float) atan2 ((double)argb[i], (double)arga[i]);
            relerr = (res[i] - ref) / ref;
            if ((fabsf (relerr) > maxrelerr) && 
                (fabsf (ref) >= powf (2.0f, -126))) { // result not denormal
                maxrelerr = fabsf (relerr);
            }
        }
    };

    printf ("max rel err = % 15.8e\n\n", maxrelerr);

    printf ("atan2(1,0)  = % 15.8e\n", fast_atan2f(1,0));
    printf ("atan2(-1,0) = % 15.8e\n", fast_atan2f(-1,0));
    printf ("atan2(0,1)  = % 15.8e\n", fast_atan2f(0,1));
    printf ("atan2(0,-1) = % 15.8e\n", fast_atan2f(0,-1));
    return EXIT_SUCCESS;
}

以上程序的输出应类似于以下内容：

testing atan2() with 1000000000 test vectors
max rel err =  3.53486939e-005

atan2(1,0)  =  1.57079637e+000
atan2(-1,0) = -1.57079637e+000
atan2(0,1)  =  0.00000000e+000
atan2(0,-1) =  3.14159274e+000

在 x86（使用 SSE2）和 ARM（使用 vfpv4 NEON）上尾数为 11 位的 atan2 近似值

atan2 approximation with 11bits in mantissa on x86(with SSE2) and ARM(with vfpv4 NEON)

sse

simd

neon