毕达哥拉斯恒等式：如何计算正确的 cos 符号？

Question

有公式

cos(x) = sqrt(1-sin(x)^2)

我正在尝试在我的简单程序中对其进行测试，但我不明白我的错在哪里。最后结果不对

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

int main() {
    std::vector<float> data;

    constexpr float angleAdd = 360.0/10.0;
    constexpr float M_PI_DIVIDED_BY_180 = M_PI/180.0;

    for (auto angle = 0.0; angle < 360.0; angle += angleAdd) {
        data.push_back(angle);
    }

    //
    float res1 = 0;
    for (int i = 0; i < data.size(); ++i) {
        res1 += sin(data[i]*M_PI_DIVIDED_BY_180);
        res1 += cos(data[i]*M_PI_DIVIDED_BY_180);
    }

    std::cout << "\n\n";

    float res2 = 0;
    for (int i = 0; i < data.size(); ++i) {
        float angle = data[i];      
        float sinVal = sin(angle*M_PI_DIVIDED_BY_180);

        bool isPositiveSign = (angle >= 0 && angle <= 90) || (angle >= 270 && angle <= 360);
        float cosVal = sqrt(1 -sinVal*sinVal);
        if (isPositiveSign) {
            cosVal = fabs(cosVal);
        } else {
            cosVal = -1.0*fabs(cosVal);
        }

        res2 += sinVal;
        res2 += cosVal;
    }

    std::cout << "res1: " << res1 << " res2: " << res2 << std::endl;
    return 0;
}

它给了我：

res1: -6.89606e-07 res2: -3.57628e-07

显然，res2是错误的。我确定我对 cos 符号的计算有问题，但我无法弄清楚 - 是什么。社区可以给我一些提示这里有什么问题吗？

Answer 1

如果您可以无误地进行计算，则您计算为 res1 或 res2 的数字将为零。但是，浮点运算总是会出错。因此，您获得的两个不同结果只是浮点零对计算精度的两种不同表示形式——以双精度进行计算，您会发现幅度较小的结果。

另请注意，std::cos() 和 std::sin() 并不完全满足恒等式 square(sin)+square(cos)=1。因此，

assert(square(std::cos(x)) != 1 - square(std::sin(x)));

对于 x 的大多数值（例外情况大概只有 0 或 pi）。

由于 res1 和 res2 都是零的近似值，它们的符号是任意的（尽管是确定性的）。如果将 angleAdd 更改为 360.

的另一个除数，您将得到不同的结果（但仍然与零的近似值一致）

当然，所有这些都意味着您的程序不测试 res1 和 res2 的任何值，这些值在零 std::numeric_limits<X>::epsilon() 范围内（其中 X 是使用的浮点类型）是有效的。没有正确答案。

毕达哥拉斯恒等式：如何计算正确的 cos 符号？

Pythagorean identities: how do I calculate the proper cos sign?

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