Prim 算法生成的最小生成树的预序树遍历

Question

我正在尝试实现一种近似算法来解决旅行商问题 (TSP)，当三角不等式对边权重成立时可以使用该算法。如 Cormen 等人算法简介（第 3 3d.）所述，伪代码为：

这是一个例子：

我正在纠结的是如何在 Prim 算法生成的树上实现前序树遍历。由于这不是二叉搜索树，https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Pre-order_2 处给出的伪代码似乎不适用。

相反，节点没有 left 和 right 属性，而是具有 key 和 parent 属性。以下是它们在我的 Prim 算法实现中的生成方式（带有一个小测试用例）：

import math
import copy
import pytest
import pandas as pd
from cached_property import cached_property


class Node(object):
    def __init__(self, key=math.inf, parent=None):
        self.key = key
        self.parent = parent

    def __lt__(self, other):
        return self.key < other.key


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges

    @cached_property
    def nodes(self):
        _nodes = set()
        for edge in self.edges:
            _nodes.add(edge[0])
            _nodes.add(edge[1])
        return {node: Node() for node in list(_nodes)}

    @cached_property
    def adj(self):
        A = {node: [] for node in self.nodes}
        for edge in self.edges:
            u, v, _ = edge
            A[u].append(v)
            A[v].append(u)
        return A

    @cached_property
    def w(self):
        N = len(self.nodes)
        none_array = [[None for _ in range(N)] for _ in range(N)]
        df = pd.DataFrame(none_array, index=sorted(self.nodes), columns=sorted(self.nodes))
        for edge in self.edges:
            u, v, weight = edge
            df.set_value(u, v, weight)
            df.set_value(v, u, weight)
        return df

    def mst_prim(self, root):
        r = self.nodes[root]
        r.key = 0
        Q = copy.copy(self.nodes)
        while Q:
            u = min(Q, key=Q.get)
            u_node = Q.pop(u)
            for v in self.adj[u]:
                if v in Q and self.w[u][v] < self.nodes[v].key:
                    self.nodes[v].parent = u
                    self.nodes[v].key = self.w[u][v]


@pytest.fixture
def edges_simple():
    return [('a', 'b', 4),
            ('a', 'h', 8),
            ('b', 'h', 11),
            ('h', 'i', 7),
            ('b', 'c', 8),
            ('h', 'g', 1),
            ('i', 'c', 2),
            ('i', 'g', 6),
            ('c', 'd', 7),
            ('g', 'f', 2),
            ('c', 'f', 4),
            ('d', 'f', 14),
            ('d', 'e', 9),
            ('f', 'e', 10)
            ]

def test_mst_prim(edges_simple):
    graph = Graph(edges_simple)
    graph.mst_prim(root='a')
    # print("\n")
    # for u, node in graph.nodes.items():
    #   print(u, node.__dict__)
    assert graph.nodes['a'].parent is None
    assert graph.nodes['i'].parent == 'c'
    assert graph.nodes['d'].parent == 'c'



if __name__ == "__main__":
    # pytest.main([__file__+"::test_mst_prim", "-s"])
    pytest.main([__file__, "-s"])

如何在此图上执行前序树遍历？（请注意，这个问题类似于pre-order traversal of a Minimum spanning tree，但我发现那里给出的答案相当高）。

Answer 1

我建议您在 Node class 中添加一个名为 children 的新列表。

在您的 Prim's 算法之后，您可以运行通过您获得的节点并将它们添加到它们的 parent 的 children。复杂度是 O(n)，所以没什么大不了的。之后 DFS 遍历就很容易了。

但是，正如您提到的 post 中一样，您必须为 children 选择一个顺序进行 preorder 遍历。在您的情况下，当您仅参考 parent 时，无法知道 left-most child 是什么。

Answer 2

我有点疑惑为什么Cormen书里的算法会提到前序遍历，因为最小生成树MST中的一个节点"children"之间是没有序的

据我了解，您只需按照上述 here and here 在 MST 上执行深度优先搜索 (DFS)。这意味着如果在一个节点 u 上，您将访问它的邻居之一或 "children"，没有特定的顺序。

您可以通过在 class.

中使用表示为 adj 的图的邻接表表示来实现 DFS

Prim 算法生成的最小生成树的预序树遍历

Preorder tree walk of a minimum spanning tree generated by Prim's algorithm

python

algorithm

tree

preorder