用 sympy 计算符号特征值

Question

我正在尝试计算大小为 3x3 的符号复矩阵 M 的特征值。在某些情况下，eigenvals() 工作得很好。例如下面的代码：

import sympy as sp

kx = sp.symbols('kx')
x = 0.

M = sp.Matrix([[0., 0., 0.], [0., 0., 0.], [0., 0., 0.]])
M[0, 0] = 1. 
M[0, 1] = 2./3.
M[0, 2] = 2./3.
M[1, 0] = sp.exp(1j*kx) * 1./6. + x
M[1, 1] = sp.exp(1j*kx) * 2./3.
M[1, 2] = sp.exp(1j*kx) * -1./3.
M[2, 0] = sp.exp(-1j*kx) * 1./6.
M[2, 1] = sp.exp(-1j*kx) * -1./3.
M[2, 2] = sp.exp(-1j*kx) * 2./3.

dict_eig = M.eigenvals()

returns 我 3 个正确的复符号特征值 M。但是，当我设置 x=1. 时，出现以下错误：

raise MatrixError("Could not compute eigenvalues for {}".format(self))

我还尝试按如下方式计算特征值：

lam = sp.symbols('lambda')
cp = sp.det(M - lam * sp.eye(3))
eigs = sp.solveset(cp, lam)

但它 returns 我 ConditionSet 无论如何，即使 eigenvals() 可以完成这项工作。

有谁知道如何正确解决这个特征值问题，对于 x 的任何值？

Answer 1

你对 M 的定义让 SymPy 的生活变得太难了，因为它引入了浮点数。当您需要符号解决方案时，应避免使用浮点数。这意味着：

而不是 1./3. （Python 的浮点数）使用 sp.Rational(1, 3) （SymPy 的有理数）或 sp.S(1)/3 具有相同的效果但更容易类型。
而不是 1j（Python 的虚数单位）使用 sp.I（SymPy 的虚数单位）
而不是 x = 1.，写成 x = 1（Python 2.7 习惯和 SymPy 搭配不佳）。

通过这些更改，solveset 或 solve 可以找到特征值，尽管 solve 可以更快地找到它们。此外，您可以制作一个 Poly 对象并对其应用 roots，这可能是最有效的：

M = sp.Matrix([
    [
        1,
        sp.Rational(2, 3),
        sp.Rational(2, 3),
    ],
    [
        sp.exp(sp.I*kx) * sp.Rational(1, 6) + x,
        sp.exp(sp.I*kx) * sp.Rational(1, 6),
        sp.exp(sp.I*kx) * sp.Rational(-1, 3),
    ],
    [
        sp.exp(-sp.I*kx) * sp.Rational(1, 6),
        sp.exp(-sp.I*kx) * sp.Rational(-1, 3),
        sp.exp(-sp.I*kx) * sp.Rational(2, 3),
    ]
])
lam = sp.symbols('lambda')
cp = sp.det(M - lam * sp.eye(3))
eigs = sp.roots(sp.Poly(cp, lam))

（做 from sympy import * 比输入所有这些 sp 更容易。）

我不太清楚为什么即使进行了上述修改，SymPy 的特征值方法也会报告失败。如您所见 in the source，它所做的并不比上面的代码多多少：在特征多项式上调用 roots。区别似乎在于创建此多项式的方式：M.charpoly(lam) returns

PurePoly(lambda**3 + (I*sin(kx)/2 - 5*cos(kx)/6 - 1)*lambda**2 + (-I*sin(kx)/2 + 11*cos(kx)/18 - 2/3)*lambda + 1/6 + 2*exp(-I*kx)/3, lambda, domain='EX')

神秘（对我来说）domain='EX'。随后，申请了rootsreturns{}，没有找到根。看起来像是实施的缺陷。

用 sympy 计算符号特征值

Computation of symbolic eigenvalues with sympy

symbolic-math

sympy

eigenvalue

python-2.7