如何在 coq 中定义从 naturals 到 naturals 的分段函数

Question

我如何在 Coq 中定义一个像 f(x)=0 if x<5 否则 f(x)=1 的函数？

如果我在 OСaml 中做类似的事情，

Definition test (i:nat):nat :=
  if i < 5 then 0 else 1.

它抱怨

Error: The term i < 5 has type Prop which is not a (co-)inductive type.

Answer 1

您需要使用比较的 可判定 版本（i < 5 是逻辑或命题版本，您无法计算）。这是在标准库中：

Require Import Arith.
Check lt_dec.

Definition test (i:nat) : nat := if lt_dec i 5 then 0 else 1.

标准库对小于 returns 的测试不是一个布尔值，而是一个 sumbool，它包括两种情况下的证明，告诉您函数的作用（这些证明在您的示例中未使用，但会是如果你想证明一些关于 test 的东西，这很方便）。您在 lt_dec 的类型中看到的 {n < m} + {~n < m} 类型是 sumbool (n < m) (~n < m).

的符号

如果您不关心证明，那么您可以使用不同的函数 Nat.ltb，即 returns 布尔值。标准库也包含此函数的方便符号：

Require Import Arith.

Definition test (i:nat) : nat := if i <? 5 then 0 else 1.

当你在证明中使用这个时，你需要应用像 Nat.ltb_lt 这样的定理来推理 i <? 5 returns.

请注意，Coq 中的 if b then .. else ... 支持 b 作为 bool 或 sumbool。事实上，它支持具有两个构造函数的 any 归纳类型，第一个构造函数使用 then 分支，第二个构造函数使用 else 分支； bool 和 sumbool 的定义小心地命令它们的构造函数使 if 语句按预期运行。

如何在 coq 中定义从 naturals 到 naturals 的分段函数

how to define piecewise function from naturals to naturals in coq

coq