加减后浮点数不等于比较

Question

有没有"best practice"与浮点数进行一系列的浮点算术运算后进行小于等于比较？

我在 R 中有以下示例（尽管该问题适用于使用浮点数的任何语言）。我有一个双 x = 1，我在上面应用了一系列加法和减法。最后 x 应该正好是一个，但不是由于浮点运算（根据我收集的）。这是示例：

> stop_times <- seq(0.25, 2, by = .25)
> expr <- expression(replicate(100,{
    x <- 1

    for(i in 1:10) {
      tmp <- rexp(1, 1)
      n <- sample.int(1e2, 1)
      delta <- tmp / n
      for(j in 1:n)
        x <- x - delta
      x <- x + tmp
    }

    # "correct" answer is 4  
    which.max(x <= stop_times)
  }))
> eval(expr)
  [1] 5 5 5 4 4 4 5 5 5 4 5 4 4 4 5 5 4 4 5 4 5 4 5 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 5 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4
 [64] 5 4 4 4 5 5 5 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 4

一个（天真的？）解决方案是在不等式的右侧添加一些任意的小正数，如下所示

some_arbitrary_factor <- 100
stop_times <- seq(0.25, 2, by = .25) + 
  some_arbitrary_factor * .Machine$double.eps
eval(expr)
  [1] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
 [64] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

这是"best practice"吗？如果是，是否有关于如何选择的指南some_arbitrary_factor？

我的具体问题是我有时间段 (t_0, t_1], (t_1, t_2], ... 并且需要找出给定观察值 x 所在的时间段。x 可能已设置为boundaries t_i 在经历了一系列浮点算术运算之后，如果执行了精确的运算，应该会导致 t_i。

Answer 1

不，没有最佳实践。不幸的是，不可能，因为几乎所有的浮点计算都会引入一些舍入误差，并且误差的后果对于不同的应用程序是不同的。

通常，软件会执行一些计算，理想情况下会产生一些精确的数学结果 x 但是，由于舍入误差（或其他问题），会产生一个近似值 x'。在比较浮点数时，你想问一些关于 x 的问题，比如“Is x < 1?”或“x = 3.1415926……吗？”所以你要解决的问题是“我如何使用 x' 来回答这个关于 x 的问题？”

对此没有通用的解决方案。即使 x 小于 1，某些错误可能会产生大于 1 的 x'。某些错误可能会产生 x' 小于 1，即使 x 大于 1。任何特定实例中的解决方案都取决于有关在计算 x' 和要回答的具体问题。

有时，彻底的分析可以证明某些关于 x 的问题可以使用 x' 来回答。例如，在某些情况下，我们可能会精心计算，以便我们知道，如果 x' < 1，则 x < 1。或者也许即，如果 x' < .99875，则 x < 1。假设我们分析用于计算 x[ 的计算=47=]' 可以证明最终的误差小于.00125。然后，如果 x' < .99875，那么我们知道 x < 1，并且，如果 x ' > 1.00125，那么 x > 1。但是，如果 .99875 < x' < 1.00125，那么我们不知道是否 x > 1 或 x < 1. 在这种情况下我们该怎么办？对于您的应用程序来说，选择 x < 1 的路径还是 x > 1 的路径更好？答案是针对每个应用程序的，没有通用的最佳实践。

我还要补充一点，发生的舍入误差量因应用程序而异。这是因为舍入误差可以通过多种方式复合。一些具有少量浮点运算的应用程序将获得具有小错误的结果。一些具有许多浮点运算的应用程序也将获得具有适度错误的结果。但某些行为可能导致计算误入歧途并产生灾难性错误。所以处理舍入误差是每个程序的自定义问题。

加减后浮点数不等于比较

Floating point less-than-equal comparisons after addition and substraction

r

floating-point

floating-accuracy

epsilon

inexact-arithmetic