嵌套递归和“Program Fixpoint”或“Function”

Question

我想在 Coq 中使用 Program Fixpoint 或 Function 定义以下函数：

Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.
Require Import Coq.Program.Wf.
Require Import Recdef.

Inductive Tree := Node : nat -> list Tree -> Tree.

Fixpoint height (t : Tree) : nat :=
  match t with
   | Node x ts => S (fold_right Nat.max 0 (map height ts))
  end.

Program Fixpoint mapTree (f : nat -> nat) (t : Tree)  {measure (height t)} : Tree :=
  match t with 
    Node x ts => Node (f x) (map (fun t => mapTree f t) ts)
  end.
Next Obligation.

不幸的是，此时我有举证义务height t < height (Node x ts)，但不知道t是ts的成员。

与 Function 而非 Program Fixpoint 类似，只是 Function 检测到问题并中止定义：

Error:
the term fun t : Tree => mapTree f t can not contain a recursive call to mapTree

我希望得到 In t ts → height t < height (Node x ts) 的证明义务。

有没有一种不涉及重构函数定义的方法？（例如，我知道需要在此处内联 map 定义的变通方法——我想避免这些。）

伊莎贝尔

为了证明这种期望，让我展示一下当我在 Isabelle 中使用 function 命令时会发生什么，该命令（据我所知）与 Coq 的 Function 命令相关：

theory Tree imports Main begin

datatype Tree = Node nat "Tree list"

fun height where
  "height (Node _ ts) = Suc (foldr max (map height ts) 0)"

function mapTree where
  "mapTree f (Node x ts) = Node (f x) (map (λ t. mapTree f t) ts)"
by pat_completeness auto

termination
proof (relation "measure (λ(f,t). height t)")
  show "wf (measure (λ(f, t). height t))" by auto
next
  fix f :: "nat ⇒ nat" and x :: nat  and ts :: "Tree list" and t
  assume "t ∈ set ts"
  thus "((f, t), (f, Node x ts))  ∈ measure (λ(f, t). height t)"
    by (induction ts) auto
qed

在终止证明中，我得到假设t ∈ set ts。

注意 Isabelle 在这里不需要手动终止证明，下面的定义就可以了：

fun mapTree where
  "mapTree f (Node x ts) = Node (f x) (map (λ t. mapTree f t) ts)"

这是有效的，因为 map 函数有一个形式为

的“同余引理”

xs = ys ⟹ (⋀x. x ∈ set ys ⟹ f x = g x) ⟹ map f xs = map g ys

那个function命令用来找出终止证明只需要考虑t ∈ set ts..

如果这样的引理不可用，例如因为我定义

definition "map' = map"

并在 mapTree 中使用它，我得到了与 Coq 中相同的无法证明的证明义务。我可以通过为 map' 声明一个同余引理来使其再次工作，例如使用

declare map_cong[folded map'_def,fundef_cong]

Answer 1

在这种情况下，您实际上不需要具有充分普遍性的有根据的递归：

Require Import Coq.Lists.List.

Set Implicit Arguments.

Inductive tree := Node : nat -> list tree -> tree.

Fixpoint map_tree (f : nat -> nat) (t : tree) : tree :=
  match t with
  | Node x ts => Node (f x) (map (fun t => map_tree f t) ts)
  end.

Coq 能够自行判断对 map_tree 的递归调用是在严格的子项上执行的。然而，要证明关于这个函数的任何事情都很困难，因为为 tree 生成的归纳原理没有用：

tree_ind : 
  forall P : tree -> Prop, 
    (forall (n : nat) (l : list tree), P (Node n l)) ->
    forall t : tree, P t

这基本上与您之前描述的问题相同。幸运的是，我们可以通过用证明项证明我们自己的归纳原理来解决这个问题。

Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Unset Elimination Schemes.
Inductive tree := Node : nat -> list tree -> tree.
Set Elimination Schemes.

Fixpoint tree_ind
  (P : tree -> Prop)
  (IH : forall (n : nat) (ts : list tree),
          fold_right (fun t => and (P t)) True ts ->
          P (Node n ts))
  (t : tree) : P t :=
  match t with
  | Node n ts =>
    let fix loop ts :=
      match ts return fold_right (fun t' => and (P t')) True ts with
      | [] => I
      | t' :: ts' => conj (tree_ind P IH t') (loop ts')
      end in
    IH n ts (loop ts)
  end.

Fixpoint map_tree (f : nat -> nat) (t : tree) : tree :=
  match t with
  | Node x ts => Node (f x) (map (fun t => map_tree f t) ts)
  end.

Unset Elimination Schemes 命令阻止 Coq 为 tree 生成其默认的（且无用的）归纳原理。 fold_right 在归纳假设上的出现简单地表示谓词 P 对出现在 ts.

中的每棵树 t' 成立

这里有一个命题，你可以用这个归纳原理来证明：

Lemma map_tree_comp f g t :
  map_tree f (map_tree g t) = map_tree (fun n => f (g n)) t.
Proof.
  induction t as [n ts IH]; simpl; f_equal.
  induction ts as [|t' ts' IHts]; try easy.
  simpl in *.
  destruct IH as [IHt' IHts'].
  specialize (IHts IHts').
  now rewrite IHt', <- IHts.
Qed.

Answer 2

一般来说，最好避免这个问题。但是如果真的想获得Isabelle给你的举证义务，这里有一个办法：

在 Isabelle 中，我们可以给出一个外部引理，表明 map 仅将其参数应用于给定列表的成员。在 Coq 中，我们不能在外部引理中这样做，但我们可以在类型中这样做。所以不是普通类型的地图

forall A B, (A -> B) -> list A -> list B

我们希望类型表示“f 仅应用于列表的元素：

forall A B (xs : list A), (forall x : A, In x xs -> B) -> list B

(需要重新排序参数，这样f的类型才能提到xs)。

编写这个函数并不简单，我发现使用证明脚本更容易：

Definition map {A B} (xs : list A) (f : forall (x:A), In x xs -> B) : list B.
Proof.
  induction xs.
  * exact [].
  * refine (f a _ :: IHxs _).
    - left. reflexivity.
    - intros. eapply f. right. eassumption.
Defined.

但你也可以“手写”:

Fixpoint map {A B} (xs : list A) : forall (f : forall (x:A), In x xs -> B), list B :=
  match xs with
   | [] => fun _ => []
   | x :: xs => fun f => f x (or_introl eq_refl) :: map xs (fun y h => f y (or_intror h))
  end.

无论哪种情况，结果都很好：我可以在 mapTree 中使用此函数，即

Program Fixpoint mapTree (f : nat -> nat) (t : Tree)  {measure (height t)} : Tree :=
  match t with 
    Node x ts => Node (f x) (map ts (fun t _ => mapTree f t))
  end.
Next Obligation.

而且我不需要对 f 的新参数做任何事情，但它会在终止证明义务中显示为 In t ts → height t < height (Node x ts)，如我所愿。所以我可以证明并定义 mapTree:

  simpl.
  apply Lt.le_lt_n_Sm.
  induction ts; inversion_clear H.
  - subst. apply PeanoNat.Nat.le_max_l.
  - rewrite IHts by assumption.
    apply PeanoNat.Nat.le_max_r.
Qed.

不幸的是，它仅适用于 Program Fixpoint，不适用于 Function。

Answer 3

您现在可以使用方程式执行此操作并自动获得正确的消元原理，使用 structural nested recursion or well-founded recursion

嵌套递归和“Program Fixpoint”或“Function”

Nested recursion and `Program Fixpoint` or `Function`

recursion

termination

coq

isabelle

伊莎贝尔